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| Autor |
  approximation |
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felixx
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 15.10.2003
Mitteilungen: 530
 |  Themenstart: 2003-10-19
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hi,
f: [0,10] -> IR sei eine einmal stetige differenzierbare konvexe Funktion, und f(0)=25, f(2)=9, f(3)=4, f(6)=1, f(10)=25, f'(6)=2.
Geben Sie eine möglichst kleines Intervall an, in dem das globale Minimum von fliegen muss, und bestimmen Sie weiters eine möglichst gute Abschätzung des minimalen Funktionswertes nach oben und unten.
mich würde intressieren mit welchen verfahren approximationsverfahren man diese aufgabe löst
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 Profil
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Hume
Senior 
Dabei seit: 11.08.2003
Mitteilungen: 583
Wohnort: Shanghai, China
| Beitrag No.1, eingetragen 2003-10-23
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Hallo felixx,
noch interessiert?
Die Minimumsstelle liegt zwischen 3 und 6, der Minimalwert zwischen -17/7 und 1. Bei Bedarf kann
ich auch den Weg dahin aufschreiben (aber erst morgen, heute nicht mehr soviel Zeit).
Tip: Nutze die Konvexität, das ist eine echt starke Eigenschaft einer Funktion.
Insbesondere ist bei konvexen Funktionen die erste Ableitung monoton wachsend; Tangenten liegen
stets unterhalb das Graphen. Wenn man das ausnutzt, kommt man auf obige Abschätzungen.
Grüße,
Hume
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felixx
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 15.10.2003
Mitteilungen: 530
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2003-10-23
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hi hume,
ich würde mir sehr gerne Deine Lösung ansehen...
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Hume
Senior
Dabei seit: 11.08.2003
Mitteilungen: 583
Wohnort: Shanghai, China
| Beitrag No.3, eingetragen 2003-10-24
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Hallo felixx,
hier also etwas ausführlicher der Lösungsweg. Wie gesagt, alles folgt aus der Konvexität.
Bei konvexen Funktionen ist die erste Ableitung eine monoton wachsende Funktion, also
ist f'(x) >= f'(6) = 2 > 0 für alle x>6 und damit ist f selbst für x>6 monoton wachsend.
Die Minimumsstelle muss also kleiner als 6 sein.
Was für die Ableitung gilt, gilt ähnlich auch für den Differenzenquotienten:
((f(x_2)-f(x_0))/(x_2-x_0)) >= ((f(x_1)-f(x_0))/(x_1-x_0)) für alle x_0 < x_1 < x_2.
Daraus folgt nach Grenzübergang x_1 -> x_0 auch
(f(x_2)-f(x_0))/(x_2-x_0) >= f'(x_0) für alle x_0 < x_2.
Im Beispiel also f'(3) <= ((f(6)-f(3))/(6-3)) = -1 < 0.
Also ist f im Punkt 3 wegen der negativen ersten Ableitung monoton fallend, die Minimumsstelle
muss also größer als 3 sein.
Analog dazu kann man auch eine Abschätzung in die andere Richtung finden: f'(3) >= -5.
(Betrachte dazu die Stellen 2 und 3.)
Nun zur Abschätzung des Mimimalwertes.
Die Tangente in einem beliebigen Punkt x_0 liegt nie oberhalb des Graphen der Funktion, also
f(x) >= f(x_0)+f'(x_0)*(x-x_0).
Insbesondere gilt also f(x)>=f(3)+f'(3)*(x-3)>=19-5x und f(x)>=f(6)+f'(6)*(x-6)=2x-11.
Die Funktion f kann also nach unten durch max(,(19-5x,2x-11)) abgeschätzt werden und auch ihr
Minimum kann nicht unterhalb des Minimums von max(,(19-5x,2x-11)) liegen. Letzteres berechnet
man leicht im Schnittpunkt der beiden Geraden als -17/7|.
Da f(6)=1 ist, ist andererseits der Minimalwert von f höchstens 1.
Et voila, da sind obere und untere Schranken für die Minimumsstelle und den Minimalwert.
Dass man noch schärfere Abschätzungen hinkriegt, möchte ich anzweifeln...
Viele Grüße,
Hume
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felixx
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 15.10.2003
Mitteilungen: 530
|  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2003-10-28
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hi hume,
ich muss es erst durcharbeiten aber danke mal!
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| Das Thema wurde von einem Senior oder Moderator abgehakt. |
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