| |
| Autor |
  kleinste σ-Algebra |
|
mixnix
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 24.07.2003
Mitteilungen: 249
Wohnort: Schweiz
 |  Themenstart: 2003-10-22
|
Hallo zusammen,
ich bin gerade an einer Aufgabe, und zweifle an meiner Lösung.
Die Aufgabe lautet:
Seien \Omega = {1,2,3,4}, A={1,2}, B={4}.
(a) Bestimme die kleinste \sigma-Algebra über \Omega, welche A enthält.
(b) Bestimme die kleinste \sigma-Algebra über \Omega, welche A und B enthält.
Meine Lösung:
zu (a) : Die kleinste \sigma-Algebra G= {\0, \Omega, {1,2}, {3,4}}
zu (b) : Die kleinste \sigma-Algebra G= {\0, \Omega, {1,2}, {3,4}, {4}, {1,2,3}}
Meine Fragen:
1) Ist es richtig, dass man hier die Menge A nicht auseinandernimmt,
also man schreibt in der Sigma-Algebra nicht noch {1},{2} usw...
2) kommt bei b nicht auch noch {1,2,4} dazu oder {1,2} vereint mit {4}?
3) Was wäre wenn in der Aufgabenstellung nicht von der "Kleinsten"
Sigma-Algebra die Rede wäre, sondern einfach "Bestimme die Sigma-Algebra". Wäre das Resultat dasselbe?
Danke für die Hilfe
mixnix
[ Nachricht wurde editiert von mixnix am 2003-10-22 11:11 ]
|
 Profil
|
Siah
Senior 
Dabei seit: 19.05.2002
Mitteilungen: 3539
Wohnort: Trier
 |  Beitrag No.1, eingetragen 2003-10-22
|
Hi Mixnix,
ich glaube ein Sigma-Algebra über einem Stichprobenraum Omega, muss Omega enthalten. Also ist {1,2,3,4} schonmal darin. Nun muss zu jedem in der sigma-algebra enthaltenen Element sein Komplement auch drin sein, also das Komplement von {1,2,3,4} ist die Leere Menge. Schliesslich soll noch {1,2} drin sein, das schliesst sein Komplement {3,4} auch mitein. Jetzt muss man noch prüfen, ob diese Menge von Teilmengen auch stabil ist gegenüber (unendlichen) Vereinigungen, das sollte hier aber kein Problem darstellen. Wenn also alle Axiome erfüllt sind, und man keine Teilmenge weglassen kann, ohne dass die Aufgabenstellung nicht erfüllt wäre oder Axiome verletzt würden, dann hat man die kleinste Sigma-Algebra gefunden, die A enthält.
beste Grüsse
Siah
|
Profil
|
Buri
Senior 
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 46791
Wohnort: Dresden
 | Beitrag No.2, eingetragen 2003-10-22
|
Hi mixnix,
1) Ja.
2) Ja; deine Lösung muß noch ergänzt werden.
3) Die Menge aller Teilmengen von {1,2,3,4}
ist auch eine s-Algebra, die diese Mengen
enthält, so macht es schon Sinn, nach der kleinsten
zu fragen.
Gruß Buri 
|
Profil
|
mixnix
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 24.07.2003
Mitteilungen: 249
Wohnort: Schweiz
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2003-10-22
|
Danke Siah,
aber wie würde man überprüfen, dass "die Menge von Teilmengen auch stabil ist gegenüber (unendlichen) Vereinigungen"?
Was meinst du genau mit stabil?
mixnix
|
Profil
|
Siah
Senior
Dabei seit: 19.05.2002
Mitteilungen: 3539
Wohnort: Trier
| Beitrag No.4, eingetragen 2003-10-22
|
Mmh, ich sehe gerade, dass Buri anderer Meinung ist...
|
Profil
|
mixnix
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 24.07.2003
Mitteilungen: 249
Wohnort: Schweiz
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2003-10-22
|
Hey Buri,
Würde also die Antwort bei b) so stimmen:
G = {\0, \Omega, {1,2}, {3,4}, {4}, {1,2,3}, {{1,2}\union\{4}}, {3}}
= {\0, \Omega, {1,2}, {3,4}, {4}, {1,2,3}, {{1,2,4}}, {3}}
Die Menge, die aus der Drei besteht, musste ich ja auch noch hinzufügen, da diese das Komplement von {1,2,4} ist.
Und zu 3) Würde also nicht "kleinste" stehen, dann würde ich auch {1},
{2}, ..., {1,2}, {1,3}, ..., {1,2,3},.... hinzufügen, oder? Hab ich dich richtig verstanden?
gruss
mixnix
|
Profil
|
Siah
Senior
Dabei seit: 19.05.2002
Mitteilungen: 3539
Wohnort: Trier
| Beitrag No.6, eingetragen 2003-10-22
|
Und jetzt sehe ich, dass wir gar keiner verschiedener Meinung sind, hatte übersehen, dass du die Menge Omega noch ergänzt hattest. Ja, ich würde sagen, deine letzte Lösung von b) ist richtig.
beste Grüsse
Siah
|
Profil
|
TobiPfanner
Senior
Dabei seit: 27.07.2003
Mitteilungen: 3622
Wohnort: Weiler
 | Beitrag No.7, eingetragen 2003-10-22
|
Hallo mixnix,
1. yes $ G=menge(\0,{1,2},{3,4},\Omega) $ is the shortest $ \sigma-algebra
2. nearly yes $ G=menge(\0,{3},{4},{1,2},{3,4},{1,2,3},{1,2,4},\Omega)
die Mengenklammern um $ {1,2} \union {4} $ und $ {1,2,4}
dürfen nicht sein.
Yours truly
Toby
|
Profil
|
TobiPfanner
Senior
Dabei seit: 27.07.2003
Mitteilungen: 3622
Wohnort: Weiler
| Beitrag No.8, eingetragen 2003-10-22
|
Zu den Sigma-Algebren hätt ich an dieser
Stelle auch noch ne Frage:
Ist $ \Omega_n=menge(1,2,...,n) $ und $ M(\Omega_n) $ die Menge aller
\sigma-Algebren über \Omega_n so gilt anscheinend:
1. \forall G\el M(\Omega_n) \exists k\el\IN_(<=n) : \|G\|=2^k
2. \forall k\el \IN_(<=n) \exists ^(S_2(n,k)) G\el M(\Omega_n): \|G\|=2^k
=> \| M(\Omega_n)\|=\sum(S_2(n,k),k=0,n)=B_n
wobei $ S_2(n,k) $ Stirling-Zahlen 2.Art sind
und $ B_n $ für die n-te Bellzahl steht.
(Anzahl aller Zerlegungen einer n-elementigen Menge)
Kann das jemand sauber begründen(beweisen).
Beste Grüße
Mr. Pfanner
|
Profil
|
mixnix hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Das Thema wurde von einem Senior oder Moderator abgehakt. |
|
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2023 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die
Nutzungsbedingungen,
die Distanzierung,
die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]
|
Home / Seite ohne Frame
Wie unterstütze ich den Matheplaneten mit Geld?
