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| Autor |
  Iterationsverfahren von Picard-Lindelöf |
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LisaHase
Junior 
Dabei seit: 25.10.2003
Mitteilungen: 6
Wohnort: Bremen
 |  Themenstart: 2003-10-26
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Huhu zusammen!
Kann mir jmd helfen??
Bestimmen Sie eine Lösung y:]-d,d[->R (mit einem d>0) für das Anfangswertproblem
y'=2ty, y(0)=1 mit Hilfe des Iterationsverfahrens des Satzes von Picard-Lindelöf
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 Profil
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Rodion
Senior 
Dabei seit: 29.10.2002
Mitteilungen: 2050
 | Beitrag No.1, eingetragen 2003-10-26
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Wo genau liegt denn dein Problem?
Das Iterationsverfahren von Picard-Lindelöf ist dir bekannt?
Du rechnest dann mal die ersten 2-3 Integrale aus. Dann solltest du sehen, daß das ganze auf eine Potenzreihe hinausläuft.
Dann stellst du eine Vermutung auf, wie das n-te Glied dieser Potenzreihe aussieht, und beweist das mit vollständiger Induktion.
Vielleicht rechnest du vorher mit Trennung der Variablen das Ergebnis mal analytisch aus, dann weißt du schon, wo du hinwillst.
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LisaHase
Junior
Dabei seit: 25.10.2003
Mitteilungen: 6
Wohnort: Bremen
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2003-10-26
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Wir haben das definiert, aber verstanden hab ich das leider nicht :-(
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Rodion
Senior
Dabei seit: 29.10.2002
Mitteilungen: 2050
| Beitrag No.3, eingetragen 2003-10-26
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Also, das Iterationsverfahren von Picard-Lindelöf zu einem Anfangswertproblem der Form:
y´=f(t, y)\ \ \ y(t_0)=y_0
lautet:
Setze y^(0)(t) = y_0
und
y^((k+1))(t) = y_0 + int(f(\tau, y^(k)(\tau)), \tau, t_0, t)
Unter einigen Voraussetzungen, die für dein Problem erfüllt sind, konvergiert dann dieses Verfahren gegen die Lösung.
Dann fangen wir mal an:
\stopalign
y^(0)(t) = y_0 = 1
y^(1)(t) = 1 + int(2*\tau*y^(0)(\tau), \tau, t_0, t)
= 1 + int(2*\tau*1, \tau, t_0, t)
= 1 + t^2
y^(2)(t) = 1 + int(2*\tau*y^(1)(\tau), \tau, t_0, t)
= 1 + int(2*\tau*(1+\tau^2), \tau, t_0, t)
= 1 + t^2 + 1/2*t^4
So, du kannst vielleicht noch 1-2 weitere ausrechnen.
Die Vermutung ist dann:
y(t) = e^(t^2)
denn:
e^(x) = sum(x^k/k!, k=0, \inf)
Jetzt mußt du diese Vermutung per Induktion beweisen, d.h. du zeigst:
y^(k)(t) = sum((t^2)^j/j!, j=0, k)
Den Induktionsanfang hast du schon, das sind ja die Iterationen.
Jetzt nimmst du an, y^(k) würde so aussehen und setzt das in die Iterationsformel ein, dann kommt alles so raus, wie gewünscht.
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