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| Autor |
  Matrixnorm |
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felixx
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 15.10.2003
Mitteilungen: 530
 |  Themenstart: 2003-10-28
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hallo,
ich muss folgendes zeigen *grübl*
Die natürliche Matrixnorm erfüllt die Normaxiome und ist submultipliktiv. Sie ist mit der zugrundeliegenden Vektornorm kompatibel. Sie ist unter allen mit der gegebenen Vektornorm verträglichen Matrixnormen die kleinste.
wär supa wenn mir wer helfen könnt...
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 Profil
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shadowking
Senior 
Dabei seit: 04.09.2003
Mitteilungen: 3481
| Beitrag No.1, eingetragen 2003-10-28
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Hallo Felixx,
sind Dir nur die Begriffe unklar oder weißt Du nur nicht,
wie Du beim Beweis vorgehen sollst?
Falls Du mit der Aufgabe etwas anfangen kannst, gibt es
eine Idee oder einen Hinweis, auf den man eingehen könnte?
Soll jede Aussage des Textes gezeigt werden?
Das wäre etwas viel.
Gruß shadowking
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felixx
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 15.10.2003
Mitteilungen: 530
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2003-10-28
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Also die Begriffe sind mir klar.
Mir fehlt die Beweisidee dahinter, aufkeinen Fall möchte ich, dass alles aufgeschrieben wird
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Profil
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Buri
Senior 
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 46791
Wohnort: Dresden
 | Beitrag No.3, eingetragen 2003-10-29
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Hi felixx,
ich zeige die letzte Aussage. | |A| | ist definiert als
sup(x<>0,abs(abs(A*x))/abs(abs(x))).
Es sei nun | |A| |~ noch eine Norm, die mit der Vektornorm
kompatibel ist. Also ist dann
abs(abs(A*x)) <= abs(abs(A))^\~ * abs(abs(x)).
Daraus folgt
abs(abs(A))=sup(x<>0,abs(abs(A*x))/abs(abs(x)))<=sup(x<>0,abs(abs(A))^\~) = abs(abs(A))^\~
(Ungleichungen darf man auf beiden Seiten "supremieren").
Also A ist kleiner oder gleich jeder anderen kompatiblen
Matrixnorm.
Da | |A| | selber kompatibel ist (dies war die
vorletzte Aussage), ist es die kleinste kompatible
Matrixnorm, wie behauptet.
Ich beweise noch: | |A| | ist kompatibel.
Zu zeigen ist:
abs(abs(A*y)) <= sup(x<>0,abs(abs(A*x))/abs(abs(x)))*abs(abs(y)).
Aber nach den Eigenschaften des Supremums ist
abs(abs(A*y))/abs(abs(y))<=sup(x<>0,abs(abs(A*x))/abs(abs(x))).
Damit ist die Kompatibilität gezeigt.
Gruß Buri
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