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  inverse Interpolation |
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Rico
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 16.10.2003
Mitteilungen: 860
 |  Themenstart: 2003-11-11
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Hallo.
((x – x_a )*y_b – (x – x_b )*y_a )/(x_b – x_a )
Mal ein paar bescheidene Fragen zu folgender Aufgabe:
Die kubische Funktion y = f(x) = x^3 – 3*x – 1 besitzt im Intervall [1.6 , 2,0] genau eine Nullstelle x. Diese soll durch inverse Interpolation näherungsweise berechnet werden, indem im Intervall nacheinander 3 bzw. 5 bzw. 9 äquidistante Stützstellen verwendet werden. Man nutze in möglichst effektiver Weise das Neville-Schema.
1. Wenn ich Neville anwenden soll, welchen Stützwert soll ich dann als x verwenden? Bei der 3-Teilung beispielsweise habe ich 1.6 , 1.8 und 2.0 richtig. Dazu kann ich mir mit Hilfe der gegebenen Funktion die y-Werte berechnen. Welches ist aber nun mein x als der Stützwert, denn ich in diesem Neville-Algorithmus brauche? (siehe Formel das x)
((x - x_a )*y_b - (x - x_b )*y_a )/(x_b - x_a )
2. Was kann ich mit den dann errechneten Werten anfangen? Sehe ich da schon meine angenäherte Nullstelle?
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LutzL
Senior 
Dabei seit: 06.03.2002
Mitteilungen: 10094
Wohnort: Berlin-Mahlsdorf
 |  Beitrag No.1, eingetragen 2003-11-12
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Hi,
die Idee ist wohl, zwischendurch die Rolle der x und y umzukehren, d.h. die inverse Funktion zu interpolieren. Raus kommt also ein Polynom p, mit
p(y_i)=x_i
und die naechste Naeherung ist x=p(0). Setzt natuerlich Monotonie voraus, damit es ueberhaupt die inverse Funktion gibt.
Ciao Lutz
p(y)=((y - y_a )*x_b - (y - y_b )*x_a )/(y_b - y_a )
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Rico
Ehemals Aktiv
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Mitteilungen: 860
|  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2003-11-12
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Also.
Prinzipiell besagt doch das Neville-Schema, das ich mir (ohne das Interpolationspolynom zu bestimmen), den Funktionswert für eine Stützstelle x berechnen kann, wenn ich einige Punkte gegeben habe, durch die das Polynom gehen soll.
Mich verwirren jetzt die vielen vielen Stützstellen.
Was nun???????????
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Rico
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 16.10.2003
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| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2003-11-13
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Ich hab die Idee (vielleicht meintest Du das ja)
Ich berechne mir zu den 3,5,9 Stützstellen die Funktionswerte. Dann nutze ich das "inverse Neville-Schema" so wie angegeben, und nehme anstatt des gegebenen x-Wertes eben den gegebenen y-Wert. Der müsste ja y=0 sein, weil ja die Nullstelle gesucht ist, und damit der x-Wert zwischen 1,6 und 2,0. Das Intervall teile ich dementsprechend in 3,5,9 äquidistante Teilintervalle auf (weil ja immer neue Stützstellen dazukommen; erst 3, dann 5, dann 9).
Die Schlußfolgerung müsste sein, das ich, je mehr Stützstellen und deren Funktionswerte ich verwende, desto genauer sollte ich meine gesuchte Nullstelle bestimmen können. Bei 3 Stützstellen ist es wahrscheinlich noch etwas ungenau, bei 5 Stützstellen schon genauer, bei 9 Stützstellen schon ziemlich genau.
Geht das alles in allem so, oder hab ich nen Denkfehler in meinem Fahrplan?
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Rico
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Dabei seit: 16.10.2003
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|  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2003-11-13
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Wenn ich nach dieser Formel gehe:
p(y)=((y - y_a )*x_b - (y - y_b )*x_a )/(y_b - y_a )
Kann ich dann aber trotzdem für x die regulären x-Werte (für 3 Stützstellen x = 1,6 ; x = 1,8 ; x = 2,0) einsetzen?
Also z.B. x_b = 1,8 und x_a = 1,6?
Für y entsprechend auch.
Oder muss ich hier auch noch was beachten?
Ich ahb nämlich beim Interpolieren mit drei Stützstellen den Wert 1,882637967 raus.
Es müsste aber 1,879034 sein, oder?
Ich hab dabei die normale Belegung verwendet. Also x_b ist bei mir auch 1,8 usw. Ich glaube nicht, dass ich die nun die y-Werte für x einsetzen muss, oder? Das macht mich total konfus.
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Rico
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 16.10.2003
Mitteilungen: 860
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2003-11-14
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Weiß jemand, was hier schiefgelaufen sein könnte????
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Docker1
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 31.08.2002
Mitteilungen: 1136
 | Beitrag No.6, eingetragen 2003-11-15
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was hier schiefgelaufen ist? ganz einfach, ich vermute mal du hast mit Maple interp benutzt und von diesem polynom die Nst ausgerechnet, dabei kommt dann der andere Wert raus. Du interpolierst aber nicht mit Newton oder Lagrange sondern mit Neville. Aus disem Grund ist Dein Wert 1,882637967 völlig in Ordnung und ausreichend.
Nun mußt Du dieses "nur" noch für 5 Stützstellen und 9 Stützstellen tun.
[ Nachricht wurde editiert von Docker1 am 2003-11-15 15:08 ]
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Rico
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Dabei seit: 16.10.2003
Mitteilungen: 860
| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2003-11-16
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Du hast recht. Ich hab interp benutzt.
Aber nur mit den drei Werten 1.6 , 1.8 und 2.0
Das ermittelte Polynom bestand also nur aus diesen drei Punkten. Das müsste aber dann schon die NST an der Stelle x=1,879034 ergeben. Trotzdem differiert mein Ergebnis.
Ich könnte Deinen Einwand verstehen, wenn ich gleich bei Maple 9 Stützstellen eingegeben hätte, und dann interp ausgeführt hätte. Dem war aber nicht so. ????
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viertel
Senior 
Dabei seit: 04.03.2003
Mitteilungen: 27787
Wohnort: Hessen
 | Beitrag No.8, eingetragen 2003-11-16
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Rico,
wieso machst Du Dich selbst verrückt? Du schreibst oben, mit 3 Stützstellen ist die Interpolation noch ungenau, mit 5 oder 9 wird's besser. Also ist doch 1,882637967 ok. Wo hast Du dieses "Es müsste aber 1,879034 sein, oder?" her? Der Wert mit 10 gültigen Ziffern ist 1.879385241. Also los geht's mit 5 und 9 Stützstellen.
Übrigens teilen 3, 5 bzw. 9 Stützstellen (einschließlich Rand) das Intervall in 2, 4 bzw. 8 äquidistante Teilintervalle (siehe Deinen Post 2003-11-13 15:42).
Und warum fragst Du bei jedem Schritt, ob er richtig ist? Rechne es durch und kontrolliere dann das Ergebnis - und suche ggf den Fehler. Auch das mußt Du lernen.
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Rico
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 16.10.2003
Mitteilungen: 860
| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2003-11-16
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Ich bin auf den Wert gekommen, weil ich mir mit Newton das Interpolationspolynom der drei Werte 1.6 , 1.7 und 1.8 erstellt habe. Davon habe ich dann die Nullstelle berechnet.
Die müsste ja die gleiche sein, als wenn ich Neville auf die 3 Werte anwende, und y=0 als Stützstelle verwende, oder?
Deshalb frage ich.
P.S.: Ich benutze ja drei Werte. Ich interpoliere den ersten mit dem zweiten und den zweiten mit dem dritten Wert. Dann interpoliere ich die beiden errechneten Werte. Hier benutze ich ja die ursprünglichen y-Werte (weil invers, ansonsten natürlich die x-Werte), jedoch die neu berechneten Zahlen als x-Werte.
Nun meine Frage:
Wenn ich jetzt mit 5 bzw. 9 Stützstellen interpoliere, dann folgen ja weitere Schritte, und der Schwanz nach rechts wird länger.
Nutze ich grundsätzlich immer die ursprünglichen y-Werte und als x-Werte die immer neu berechneten Zahlen, oder ist das jetzt nur so, weil ich bei 3 Werten nur insgesamt dreimal interpolieren muss.
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Docker1
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 31.08.2002
Mitteilungen: 1136
| Beitrag No.10, eingetragen 2003-11-16
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Du MUßT immer die neu berechneten x-Werte nutzen und die alten y werte nehmen, Das ist ja der CLOU!
Quote:
Ich bin auf den Wert gekommen, weil ich mir mit Newton das Interpolationspolynom der drei Werte 1.6 , 1.7 und 1.8 erstellt habe. Davon habe ich dann die Nullstelle berechnet.
Die müsste ja die gleiche sein, als wenn ich Neville auf die 3 Werte anwende, und y=0 als Stützstelle verwende, oder?
Quote
Nein ist es nicht, weil Newton oder Neville nicht genau das gleiche machen, es sind beides Interpolaionsverfahren, . Dein Interpolationspolynom nach Newton ist doch auch nur ne Näherung, und von dieser Näherung berechnest Du die Nullstelle. Mit Neville interpolierst du aber gleich an der stelle die du haben willst.
Du solltest lieber anfangen das durchzurechnen, wird noch ne Menge Arbeit für 9 Stützstellen!
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Rico
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 16.10.2003
Mitteilungen: 860
|  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2003-11-16
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Bedanke mich bei Euch allen.
Hab´s jetzt hingekriegt.
Rigo
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Rico hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Rico hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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