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 Kann man per Kettenbruchentwicklung die Eulersche Zahl berechnen ODER nur darstellen? |
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venividivici
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 |  Themenstart: 2009-08-14
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Hallo Matheplanetaner,
ich habe bereits aufmerksam einige Artikel über die Eulersche Zahl durchgelesen, habe aber nicht die Antwort auf meine Frage gefunden und zwar:
Ist die Kettenbruchentwicklung eine Möglichkeit, die Eulersche Zahl darzustellen ODER kann man per Kettenbruchentwicklung "e" berechnen?
Ich freue mich über jede Antwort.
Gruß
venividivici
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syngola
Senior 
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 |  Beitrag No.1, eingetragen 2009-08-14
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Hallo Venividivici,
willkommen auf dem Matheplaneten :)
Da die Eulersche Zahl irrational ist bricht die Kettenbruchentwicklung nicht ab. Daher kann man die Entwicklung hoechstens dazu benutzen einen Naeherungswert zu berechnen.
Gruss, Peter
PS: auf wikipedia las ich gerade, dass die Naeherung aber rasch konvergiert, sodass schon Entwicklungen mit nur wenigen Schritten sehr gut sein duerften...
[ Nachricht wurde editiert von syngola am 14.08.2009 17:03:27 ]
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venividivici
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2009-08-14
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Vielen Dank für die freundliche Begrüßung :)
Ich hätte noch eine kleine Frage und zwar:
Wenn ich jetzt weiß, dass man "e" mit der Kettenbruchentwicklung annäherungsweise berechnen kann, wie gehe ich an diese Entwicklung heran?
Geht man davon aus, dass der ""Zahlenwert"" für "e" schon bekannt ist oder muss ich per Potenzreihe diese Annäherung durchführen? Ich habe erfolglos bis jetzt nach diesem Ansatz gesucht...
Danke :)
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syngola
Senior
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| Beitrag No.3, eingetragen 2009-08-14
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Hi,
ich denke Du solltest die Potenzreihe benutzen, auf der englischen Wiki-Seite zur Kettenbruchentwicklung wird so argumentiert. Aber ich kenne mich zuwenig damit aus um konkretere Hilfe zu geben.
Lieben Gruss, Peter
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venividivici
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2009-08-14
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Danke! Jetzt habe ich endlich einen sinnvollen Ansatz finden können. Bin nämlich gerade dabei, meine Facharbeit über eben diese Zahl zu schreiben und da hängts ab und zu mal. Jetzt muss ich mich nur noch um einen schlüssigen Beweis für die Transzendenz kümmern; denn was ich schon gefunden habe, übersteigt zumindest noch im Moment meinen Horizont.
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PeterTheMaster
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 | Beitrag No.5, eingetragen 2009-08-14
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hast du die kettenbruchdarstellung bewiesen? die ist doch ein transzendenzbeweis (weil nicht periodisch).
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viertel
Senior 
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 | Beitrag No.6, eingetragen 2009-08-14
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\quoteon(2009-08-14 17:04 - venividivici in Beitrag No. 2)
Wenn ich jetzt weiß, dass man "e" mit der Kettenbruchentwicklung annäherungsweise berechnen kann, wie gehe ich an diese Entwicklung heran?
Geht man davon aus, dass der ""Zahlenwert"" für "e" schon bekannt ist oder muss ich per Potenzreihe diese Annäherung durchführen? Ich habe erfolglos bis jetzt nach diesem Ansatz gesucht...
\quoteoff
Hi venividivici
Auch von mir ein Willkommen auf dem Planeten
Ich versteh Deine Frage nicht 
Wozu brauchst Du den Wert von e, wenn Du den Kettenbruch hast und damit Näherungen berechnen willst? Und die Potenzreihe brauchst Du für die Kettenbruchnäherungen doch auch nicht.
Die ersten Näherungen sind:
array(1,3,3;\
2,8/3,2.6666666666666666666;\
3,11/4,2.75;\
4,19/7,2.7142857142857142857;\
5,87/32,2.71875;\
6,106/39,2.7179487179487179487;\
7,193/71,2.7183098591549295774;\
8,1264/465,2.7182795698924731182;\
9,1457/536,2.7182835820895522388;\
10,2721/1001,2.7182817182817182817;\
11,23225/8544,2.7182818352059925093;\
12,25946/9545,2.7182818229439497118;\
13,49171/18089,2.7182818287356957266;\
14,517656/190435,2.7182818284454013180;\
15,566827/20852,2.71828182847058372174)
Gruß vom 1/4
[ Nachricht wurde editiert von fed am 15.08.2009 12:13:57 ]
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PeterTheMaster
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| Beitrag No.7, eingetragen 2009-08-15
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ich dachte, er hat e ueber die reihe definiert und dann gezeigt, wie die kettenbruchentwicklung davon aussieht. man koennte e natuerlich auch ueber die kettenbruchentwicklung definieren.
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viertel
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| Beitrag No.8, eingetragen 2009-08-15
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@PTM
\quoteon(2009-08-14 16:53 - venividivici im Themenstart)
[…] ODER kann man per Kettenbruchentwicklung "e" berechnen?
\quoteoff
[ Nachricht wurde editiert von viertel am 15.08.2009 01:27:49 ]
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lula
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 | Beitrag No.9, eingetragen 2009-08-15
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Hallo
ist das ne Facharbeit fuer Schule oder uni? Fuer Schule ist denke ich ein Transzendenzbeweis eine Ueberforderung.
Und Kettenbruch zeigt nur nicht rational, nicht die Transzendenz, und das auch nur, wenn man zeigt, dass er nicht abbricht.
Bis dann lula
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.7 begonnen.]
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PeterTheMaster
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| Beitrag No.10, eingetragen 2009-08-15
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stimmt lula, da habe ich irrational und transzendent verwechselt. was meinst du mit dem nicht abbrechen?
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viertel
Senior 
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| Beitrag No.11, eingetragen 2009-08-15
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@PTM
Daß die Entwicklung
[2, 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, ...]
niemals abbricht.
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PeterTheMaster
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| Beitrag No.12, eingetragen 2009-08-15
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lula schrieb, das man am kettenbruch nur irrationalitaet, nicht jedoch transzendenz ablesen kann. das verstehe ich, endlich heisst rational, unendlich irrational. und dann schraenkt sie ein "aber nur, wenn er nicht abbricht". das klingt so, als koenne man nur fuer unendliche erkennen, ob irrational oder nicht. ich ahne nun, wie es gemeint ist.
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chryso
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 | Beitrag No.13, eingetragen 2009-08-15
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e =[2, 1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,1,1,12, 1,1,...]
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venividivici
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| Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2009-08-15
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Ich habe gar nicht gemerkt, dass hier noch viel gepostet wurde, danke dafür. Um die offene Frage zu beantworten: Ich schreibe die Facharbeit im Mathe-LK, Oberstufe Gymnasium.
Mir ging es bei dieser Frage darum, ob ich "e" per Kettenbruchentwicklung annähernd berechnen kann, ohne dass ich den ""Wert"" von "e" selbst weiß. ODER GEHT DAS GAR NICHT???
[ Nachricht wurde editiert von venividivici am 15.08.2009 11:48:11 ]
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Tetris
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| Beitrag No.15, eingetragen 2009-08-15
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\quoteon(2009-08-15 11:00 - venividivici in Beitrag No. 14)
Mir ging es bei dieser Frage darum, ob ich "e" per Kettenbruchentwicklung annähernd berechnen kann, ohne dass ich den ""Wert"" von "e" selbst weiß. ODER GEHT DAS GAR NICHT???
\quoteoff
Hi, Deine Frage ist (für mich) nicht einfach zu verstehen.
Die Kettenbruchentwicklung von e liefert, wenn man sie nach endlich vielen Schritten abbrechen lässt, eine Zahl. Auf diese Weise entsteht eine Zahlenfolge, deren Grenzwert sich als e erweist. Insofern lässt sich e durch die Kettenbruchentwicklung annähernd berechnen. Kennt man nun den Wert von e nicht, so ändert sich dadurch der Grenzwert der Folge natürlich nicht, man weiß allerdings nicht, dass es e ist.
Nun erscheint mir meine Antwort beim Durchlesen reichlich unbefriedigend; vielleicht liegt das auch daran, dass die im Titel genannten Begriffe "berechnen" und "darstellen" noch nicht konkret genug gefasst sind.
Lg, T.
[ Nachricht wurde editiert von Tetris am 15.08.2009 12:25:41 ]
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viertel
Senior
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| Beitrag No.16, eingetragen 2009-08-15
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Das hab ich doch in Beitrag 6 geschrieben und die ersten 15 Näherungen berechnet. Hier noch mal als abgebrochene Kettenbrüche:
2+1/1=3=3
2+1/(1+1/2)=8/3\approx\ 2.6666666666666666666
2+1/(1+1/(2+1/1))=11/4=2.75
2+1/(1+1/(2+1/(1+1/1)))=19/7\approx\ 2.7142857142857142857
2+1/(1+1/(2+1/(1+1/(1+1/4))))=87/32=2.71875
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.14 begonnen.]
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PeterTheMaster
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Dabei seit: 19.06.2006
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| Beitrag No.17, eingetragen 2009-08-15
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chryso, ich weiss nicht, was mit dem ist. da du so fragst, vermute ich irrational? da wo bei dir dreien stehen, dachte ich, muessen immer einsen sein.
zur frage: wenn du den wert von e nicht kennst, aber die kettenbruchentwicklung, kannst du damit natuerlich beliebig genau den wert von e berechnen.
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chryso
Senior
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| Beitrag No.18, eingetragen 2009-08-15
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\quoteon(2009-08-15 12:27 - PeterTheMaster in Beitrag No. 17)
chryso, ich weiss nicht, was mit dem ist. da du so fragst, vermute ich irrational? da wo bei dir dreien stehen, dachte ich, muessen immer einsen sein.
\quoteoff
Ich hatte unlängst einen 'Beweis' von philippw gefunden, warum 1=3 ist. Da er mir recht gut gefällt, gebe ich ihn hier her, obwohl er nicht zur Kettenbruchentwicklung von e passt.
\
Es ist 1=3/(4-1), also 1=3/(4-3/(4-1))
=3/(4-3/(4-3/(4-3/(4-3/(4-...)))))
Analog kann die 3 folgendermaßen darstellen:
3=3/(4-3)=3/(4-3/(4-3)
=3/(4-3/(4-3/(4-3/(4-3/(4-...)))))
=>1=3
Ein Kettenbruch muss nicht notwendigerweise im Zähler 1 haben, wie aber dieses Beispiel zeigt, ist die Irrationalität dann nicht gegeben.
Zumindest sieht man sofort, dass der Kettenbruch
\
=1/(x-1/(x-1/(x-1/(x-1/(x-...))))) für x \el\ \IN keine rationale Zahl liefert.
Allerdings ist die Darstellung außer für x=2 und x=1 nicht eindeutig.
LG Chryso
[ Nachricht wurde editiert von chryso am 15.08.2009 14:04:27 ]
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venividivici
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Dabei seit: 14.08.2009
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| Beitrag No.19, vom Themenstarter, eingetragen 2009-08-15
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Hmm... ich formuliere meine Frage nochmal etwas anders:
KANN MAN DIE "KETTENBRUCHENTWICKLUNG" (ich weiß, dass sie unendlich ist) FÜR DIE ZAHL "e" SELBST HERLEITEN???
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Tetris
Senior 
Dabei seit: 28.08.2006
Mitteilungen: 7844
| Beitrag No.20, eingetragen 2009-08-15
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So, die englische Wikipedia enthält zwei Artikel, die nach Meiner Meinung etwas ausführlicher und detailreicher sind als die Entsprechung in der deutschen, insbesondere auch in historischer Hinsicht und in Bezug auf die angegebenen Referenzen:
 E (mathematical constant) und
Representations of e.
Lg, T.
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venividivici
Ehemals Aktiv
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Wohnort: Süddeutschland
| Beitrag No.21, vom Themenstarter, eingetragen 2009-08-15
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Danke für die Links, ich werde sie mir mal anschauen.
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Tetris
Senior
Dabei seit: 28.08.2006
Mitteilungen: 7844
| Beitrag No.22, eingetragen 2009-08-15
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venividivici
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 14.08.2009
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Wohnort: Süddeutschland
| Beitrag No.23, vom Themenstarter, eingetragen 2009-08-15
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Sämtliche Links sind wirklich hilfreich!
Aber kann jemand diese Kettenbruchentwicklung für e herleiten oder kennt einen passenden Link dafür?
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PeterTheMaster
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 19.06.2006
Mitteilungen: 2129
| Beitrag No.24, eingetragen 2009-08-15
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scheinbar gibt es einen angeblich kurzen beweis der kettenbruchdarstellung von e in amer math monthly vol 113, ich habe leider nur zugriff bis 2005.
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Profil
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Tetris
Senior
Dabei seit: 28.08.2006
Mitteilungen: 7844
| Beitrag No.25, eingetragen 2009-08-15
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Curufin
Senior
Dabei seit: 24.08.2006
Mitteilungen: 1690
Wohnort: Stuttgart
| Beitrag No.26, eingetragen 2009-08-24
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Hallo,
dieser Thread ist nicht aktuell, trotzdem möchte ich noch kurz etwas dazu sagen:
Was heißt denn eine Zahl zu "kennen"?
Ich bin häufig sehr erschrocken darüber, wie naiv mit den reellen Zahlen umgegangen wird. Da wird ein intuitives Verstehen unterstellt, mit dem man sich dann häufig auf dem Glatteis wiederfindet. Die reellen Zahlen haben einige sehr uninituitive Eigenschaften, wodurch sich dann so merkwürdige Threads ergeben wie dieser hier.
Wenn man unter dem "Kennen" einer Zahl versteht, dass man alle Nachkommastellen kennt, dann kennt man die eulersche Zahl sicherlich nicht. Man kennt dann natürlich auch Pi nicht oder die Wurzeln aus natürlichen Zahlen, die keine Quadrate sind.
Man kann aber solche Zahlen in verschiedenartigster Form als Grenzwerte darstellen. Und natürlich kann man (und muss man) zeigen, dass es sich jedes Mal um dieselbe Zahl handelt. Im Grunde ist es eine erstaunliche Sache, dass das überhaupt geht.
VG
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Profil
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Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten |
noob314
Neu
Dabei seit: 07.01.2023
Mitteilungen: 1
 |  Beitrag No.27, eingetragen 2023-01-07
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\quoteon(2009-08-15 17:15 - PeterTheMaster in Beitrag No. 24)
scheinbar gibt es einen angeblich kurzen beweis der kettenbruchdarstellung von e in amer math monthly vol 113, ich habe leider nur zugriff bis 2005.
\quoteoff
Hi Leute! Auch wenn's schon lange her ist, hier trotzdem der link zu dem AMM Artikel, weil's sicher immernoch interessant ist & damit nicht jeder weitere Interessierte lange googlen muss:
arxiv.org/pdf/math/0601660.pdf
"Henry Cohn - A Short Proof of the Simple Continued Fraction Expansion of e"
(from AMM vol.113 Jan,2006)
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hyperG
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Dabei seit: 03.02.2017
Mitteilungen: 2106
 | Beitrag No.28, eingetragen 2023-01-07
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Hallo venividivici,
es gibt nicht den EINEN Kettenbruch, sondern viele für e! Unter
Continued fraction representations (18 formulas)
findet man eine schöne Sammlung incl. dem echten Algorithmus, wie die Zahlen unter dem Bruch zu Stande kommen ("K" Symbol ).
Alle Algorithmen nähern sich nur langsam dieser irrationalen Zahl an. (das UNENDLICH bedeutet ja, dass das echte Gleichheitszeichen mit einem Bruch NIE erreicht wird) Hier mal 1 Beispiel:
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/47407_ContinuedFraction_E.PNG
Bei Interesse kann ich gern die anderen auch so vorrechnen lassen...
Grüße
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hyperG
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Dabei seit: 03.02.2017
Mitteilungen: 2106
| Beitrag No.29, eingetragen 2023-01-07
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\quoteon(2009-08-15 14:14 - venividivici in Beitrag No. 19)
Hmm... ich formuliere meine Frage nochmal etwas anders:
KANN MAN DIE "KETTENBRUCHENTWICKLUNG" (ich weiß, dass sie unendlich ist) FÜR DIE ZAHL "e" SELBST HERLEITEN???
\quoteoff
Den LINK dazu hatte syngola im Beitrag No. 3 bereits angegeben:
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/47407_e_Kettenbruch_Herleitung.PNG
Die bekannte Reihe wird einfach in ein Bruch mit zig "Unterbrücken" gewandelt...
Rechentechnisch jedoch eine Wandlung von
"eine der schnellsten Algorithmen um zig Mrd. Stellen in weinigen Sekunden zu berechnen"
nach Algorithmus
"mit umständlichen langsamen Brüchen..." wandeln.
(also eher mathematische Spielerei mit Verschlechterung der Effizienz)
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