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  Interpolationsfehler |
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Rico
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 |  Themenstart: 2003-11-12
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Hallöle.
Ich wäre wirklich dankbar, wenn mir jemand nen Fahrplan
für die folgende Aufgabe geben könnte.
Gegeben sei die Funktion y = f(x) = 1/(1+x^2 )
Man interpoliere diese mit den Stützstellen x_0 = -2, x_1 = -1, x_2 = 0, x_3 = 1, x_4 = 2
und schätze den Interpolationsfehler I f(x) - P_4 (x) I im Intervall [-2,2] ab.
Danke Euch.
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SchuBi
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 |  Beitrag No.1, eingetragen 2003-11-12
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Hallo, Rico!
Es wäre nett, wenn du angibst, welche Interpolation gemacht werden soll.
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Rico
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|  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2003-11-12
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Das ist in der Aufgabenstellung nicht angegeben.
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SchuBi
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| Beitrag No.3, eingetragen 2003-11-12
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@Rico
In der Aufgabe sind Stützstellen angegeben, deshalb vermute ich, daß es vielleicht um Splines oder ähnliches gehen kann, jedoch nicht um eine Taylorreihe. Die Aufgabenstellung sollte doch etwas mit dem Stoff zu tun haben, den ihr gerade durchnehmt. 
[ Nachricht wurde editiert von SchuBi am 2003-11-12 16:07 ]
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Buri
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 |  Beitrag No.4, eingetragen 2003-11-12
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Hi Rico,
@SchuBi
die Angabe P4 legt nahe, daß nach einem Polynom 4. Grades gefragt ist.
@Rico
In diesem Fall ist die Aufgabe bekanntlich eindeutig lösbar, und es gibt eine Restgliedformel (Interpolationsfehler), in der die 5. Ableitung der Funktion f vorkommt.
Gruß Buri
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Rico
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| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2003-11-12
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Also wir haben über folgendes gesprochen:
I f(x) - P_n (x)I <= M_(n+1)/(n+1)! * produkt(x-x_i ,i=0,n)
I sollen Betragsstriche sein
M soll wohl eine obere Schranke, der 5. Ableitung sein, weil n=4
und damit M_5 gesucht ist.
x_i sind doch meine Stützstellen, oder??
Oder sind vielleicht die x meine Stützstellen?
Auf jeden Fall erhalte ich doch beim Ausmultiplizieren des Produktes
hinten ein Polynom, oder?
Wie geht es dann weiter?
Was will der Dozent eigentlich hören????
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Buri
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| Beitrag No.6, eingetragen 2003-11-12
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Hi Rico,
genau die Formel meine ich. Ich hätte jetzt nicht aus'm Kopf gewußt, daß die Zahl im Nenner (n+1)! = 120 ist, aber so wird's wohl stimmen.
Richtig, die rechte Seite der Abschätzung ist ein Polynom. Das drückt aus, daß der Interpolationsfehler in der Nähe der Stützstellen kleiner zu erwarten ist als z. B. in der Mitte zwischen zwei Stützstellen. Du mußt den maximalen Wert dieses Polynoms im Intervall [-2, 2] abschätzen (was nicht schwer ist; es ist ja nicht gefordert, eine optimale Abschätzung zu geben), dann mußt du den maximalen Wert der 5. Ableitung abschätzen (das ist schon etwas mehr Arbeit, aber auch machbar).
Die xi sind natürlich deine Stützstellen, x ist dagegen die Stelle, an der das Interpolationspolynom berechnet wird, der Interpolationsfehler ist eine Funktion von x.
Von dieser Funktion soll der betragsmäßig maximale Wert betrachtet und nach oben abgeschätzt werden, auf dem Weg, den ich erklärt habe.
Gruß Buri
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Rico
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| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2003-11-12
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Was bedeutet dieses Abschätzen hier eigentlich?
Ich könnte ja auch die 5. Ableitung ermitteln und dann davon den maxiamlen Wert berechnen, oder?
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Buri
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| Beitrag No.8, eingetragen 2003-11-13
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Hi Rico,
"abschätzen" bedeutet im allgemeinen, eine obere Schranke für den Betrag einer Größe zu finden. Soll man aber nur eine obere Schranke für die Größe selbst finden, dann sagt man "nach oben abschätzen", entsprechend mit "unten".
Du mußt f(5)(x) nach oben abschätzen, das ist richtig. Aber dann kommt noch die Abschätzung des Polynoms
produkt((x-x_i),i=0,4)
dazu.
Gruß Buri
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Rico
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| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2003-11-13
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Ok. Was ist dann dieses P_n (x)? Das ist doch auch ein Polynom.
f(x) ist sicher die Funktion selbst.
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SchuBi
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| Beitrag No.10, eingetragen 2003-11-14
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Hallo, Rico!
In welchem Zusammenhang mußt du solche Aufgaben lösen? Es ist doch nicht zuviel verlangt, wenn du etwas über den behandelten Stoff sagst, den ihr durchnehmt. Die wenigstens hier auf dem Matheplaneten beschäftigen sich mit diesem Bereich, dann wäre es doch eine Nettigkeit von dir, uns mitzuteilen, welche Ansätze du bereits gemacht hast. Zum anderen geht es doch in der Mathematik darum, daß man Definitionen und Verfahren anwenden soll.
abs(f(x)-P_n(x))<=M_(n+1)/(n+1)!*produkt((x-x_i),i=0,n)
x_i sind doch meine Stützstellen
d.h. konkret für diese Aufgabe bedeutet es
abs(1/(1+x^2)-P_4(x))<=M_(5)/5!*produkt((x-x_i),i=0,4)
Hast du schon f^(5)(x) berechnet?
produkt((x-x_i),i=0,n)=x*(x+1)*(x-1)*(x+2)*(x-2)
=x*(x^2-1)*(x^2-4)=x^5-5x^3+4
\blue Hast du das Maximum bzw. Minimum bestimmt?
\red\Was will der Dozent eigentlich hören????
\blue\Daß du nach dem Verfahren der Vorlesung P_4(x) bestimmst!
Da müßte doch auch eine Herleitung sein, wie man von den
Stützstellen auf die Gleichung von P_4(x) kommt.
[ Nachricht wurde editiert von SchuBi am 2003-11-14 06:46 ]
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Rico
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|  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2003-11-14
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Soweit kann ich Dir folgen.
Das Polynom P_4 (x) kann ich ja auf vielfältige Art und Weise berechnen, oder?
Entweder mit Lagrange oder mit Newton.
Sehe ich das richtig?
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SchuBi
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|  Beitrag No.12, eingetragen 2003-11-14
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@rico
Warum fängst du dann nicht mit der Berechnung an?
[ Nachricht wurde editiert von SchuBi am 2003-11-14 19:24 ]
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Rico
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| Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2003-11-14
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Mein Polynom lautet:
P_4 (x) = 1/10 * x^4 – 3/5 *x^2 + 1
Als den Maximalwert des Polynoms würde ich x = 0 und y = 1 nehmen.
Meine 5. Ableitung ist:
(-240)*((x*(3*x^4 - 10*x^2 +3))/((1+x^2)^6)
Als den Maximalwert der 5.Ableitung würde ich x = -0,2282441 und y = 100,45898 nehmen.
Was sagst Du dazu?
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SchuBi
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| Beitrag No.14, eingetragen 2003-11-14
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Hallo, Rico!
Du postest nur Ergebnisse, aber keine Rechnungen.
Es ist übrigens immer noch eine Frage offen: In welchem Zusammenhang mußt du solche Aufgaben lösen?
Mein Polynom lautet:
P_4(x)=1/10*x^4-3/5*x^2+1
\blue Wie hast du das berechnet?
Als den Maximalwert des Polynoms würde ich x = 0 und y = 1 nehmen.
\blue Wie hast du das berechnet?
Meine 5. Ableitung ist:
f^(5)(x)=-240*((x*(3*x^4-10*x^2+3))/((1+x^2)^6)
Als den Maximalwert der 5. Ableitung würde ich x = -0,2282441 und y = 100,45898 nehmen.
\blue Wie hast du das berechnet?
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Rico
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| Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2003-11-14
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Aber ich brauche doch nur die Ergebnisse für die Fehlerberechnung, oder?
Hab ich mit Maple berechnet.
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SchuBi
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|  Beitrag No.16, eingetragen 2003-11-14
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Tja, Rico! Wenn das natürlich so ist, würde ich sagen, Maple ist eine super Idee. Allerdings weiß ich nicht, wie dein Prof den Gebrauch von Maple in einer Klausur bewertet.
PS: Es ist immer noch eine inhaltliche Frage offen. 
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Rico
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| Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2003-11-15
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Ich will die ganze Sache mal abkürzen und werde mal das Beispiel zeigen, welches wir in der Übung gerechnet haben. Wenn Du mir das erklären kannst, dann bin ich voll und ganz zufrieden.
Also:
y = f(x) = sin(x)
n=1, a=x_0 =0, b=x_1 =\Pi/2 (a und b sind die Intervallgrenzen)
f´(x) = cos(x) -> klar
f´´(x) = -sin(x) -> auch klaro
Aber hier:
produkt(x - x_0 ,i=0,1) = (x - x_0 )*(x - x_1 )
Maximum wird bei x = \Pi/4 (Wie kommt er darauf?)
(\Pi/4)^2 (Wie kommt er hierauf?)
sin(x) - P_1 (x) <= 1/(1+1)! * (\Pi/4)^2 <= 0,31 (Was hat er hier gerechnet?)
tatsächliche maximale Abweichung: 0,21 (Was wurde hier gerechnet?)
P.S.: Es könnten die Betragsstriche fehlen.
Ich denke mal, wenn ich dieses Beispiel gerafft habe, dann ich auch die vorliegende Aufgabe lösen, oder?
Wie gesagt, ich wäre für einige Erklärungen sehr sehr dankbar.
Gute Nacht
Rico
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SchuBi
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|  Beitrag No.18, eingetragen 2003-11-15
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2003-11-15 02:54: Rico schreibt:
Ich will die ganze Sache mal abkürzen und werde mal das Beispiel zeigen, welches wir in der Übung gerechnet haben.
Ich danke dir für das mir entgegen gebrachte Vertrauen. Du bist wirklich großzügig, daß du mir noch eine Chance gibst, dir eine solche Aufgabe zu erklären.
Wenn Du mir das erklären kannst, dann bin ich voll und ganz zufrieden.
Das glaube ich dir gerne. Ich habe aber solche Aufgaben in meinem Studium nie lösen müssen. Ich wollte es eigentlich von dir lernen. Deshalb habe ich auch so viele Fragen gestellt.
Ich denke mal, wenn ich dieses Beispiel gerafft habe, dann ich auch die vorliegende Aufgabe lösen, oder?
Das sehe ich genauso.
Wie gesagt, ich wäre für einige Erklärungen sehr sehr dankbar.
y=f(x)=sin(x)
n=1, a=x_0=0, b=x_1 =\pi/2 (a und b sind die Intervallgrenzen)
f´(x)=cos(x) -> klar
f´´(x)=-sin(x) -> auch klaro
Aber hier:
produkt((x-x_0),i=0,1)=(x-x_0)*(x-x_1)
\red produkt((x-x_i),i=0,1)=(x-x_0)*(x-x_1)=(x-0)*(x-\p/2)=x^2-\p/2\.x
Maximum wird bei x=\p/4 (Wie kommt er darauf?)
\blue\Das interessiert mich auch.
\blue\Bei deiner 1. Aufgabe habe ich mich das auch immer gefragt.
(\p/4)^2 (Wie kommt er hierauf?)
\blue sehr merkwürdig
abs(sin(x)-P_1(x))<=1/(1+1)!*(\p/4)^2<=0,31 (Was hat er hier gerechnet?)
\blue Wo ist f''(x)=-sin(x) geblieben?
tatsächliche maximale Abweichung: 0,21
\blue\Da hat jemand die Aufgabe durchgerechnet und genau geprüft, wie groß die
\blue\wirkliche Abweichung ist. Die Abschätzung eine Zeile höher geht ja vom
\blue\ungünstigsten Fall aus. So etwas müßtest du in einer Klausur nicht machen.
Wie gesagt, ich bin leider eine Niete bei solchen Aufgaben und habe davon null Plan. Ich muß jetzt auch versuchen, dein Beispiel aus der Übung zu verstehen.
Und ich habe noch nicht einmal Maple. 
[ Nachricht wurde editiert von SchuBi am 2003-11-15 08:27 ]
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Rico
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| Beitrag No.19, vom Themenstarter, eingetragen 2003-11-15
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Oh sorry SchuBi. Das wusste ich nicht.
Dann werden wir wohl auf jemanden warten müssen, der sich mit sowas auskennt. Mir sitzt ja dabei auch die Zeit im Nacken.
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frosty
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 | Beitrag No.20, eingetragen 2003-11-15
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Hi Rico,
also das du keine (deiner Meinung nach) brauchbaren Antworten bekommst liegt zuallererst an dir. Du hast Schubi kein einziges mal auf deine Frage geantwortet, und wir sind schließlich keine Hellseher.
Es gibt soo viele Möglichkeiten zu interpolieren...selbst wenn es in der Aufgabe nicht dasteht, werdet ihr die Übung ja in einem bestimmten Vorlesungskontext haben, aus dem ersichtlich werden sollte, welche Methode ihr lernen und damit hier anwenden sollt.
In so einem Script sind meist auch die Formeln erläutert...und ansonsten hilft das Tafelwerk.
Um deine Aufgabe mal etwas zu entwirren (keine Ahnung ob ich dir damit helfe, denn so richtig weiß auch ICH auch nicht, was eigentlich dein Problem /deine Frage ist)
Zu deinem 3. Post:
\| f(x) - P_n (x)\| <= M_(n+1)/(n+1)! * produkt(x-x_i ,i=0,n)
(Entwerten von Operatoren durch Vorsetzen von \ ind iesem fall für Betragsstriche: \| )
ist nichts anderes als die CAUCHYsche Restgliedformel (ein Blick ins Tafelwerk unter Interpolation hätte genügt)
Die Interpolation über deinen Stützstellen...tja, welches Verfahren hättest denn gern?
Maple? Ja, das ist echt toll, wenn ihr elektronische Hilfsmittel benutzen dürft in den Prüfungen, wir dürfen nicht mal den Taschenrechner nehmen...
Wie wärs mit Newton? Oder Lagrange?
Mensch, das sind sogar äquidistante Stützstellen, das macht es viel einfacher.
Entscheide dich für ne Methode und los gehts. Dann ist jedem klar was du genau willst.
Außerdem bezweifle ich fast, dass dein Beispiel und eine Aufgabe was miteinander zu tun haben. Mir scheint dort war die Aufgabe ganz anders gestellt, aber da musst du mich korrigieren.
Nein, musst du eigentlich nicht, denn man kann (sollte) ne Aufgabe nicht durch ne andere erklären, das wäre ein Teufelskreis!
Auf deine Entscheidung wartend...
frosty
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SchuBi
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| Beitrag No.21, eingetragen 2003-11-16
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Hallo, Rico!
Bei meinen Fragen ging es mir darum, daß du erkennst, welche Schritte warum gemacht werden.
Maple ist ein Hilfsmittel wie ein Taschenrechner, aber es hilft dir nicht, den Lösungsweg einer Aufgabe zu verstehen. Die Tatsache, daß du dich auf Maple verläßt, führt zu einer Art mathematischen Analphabetismus, du wirst zahlenblind.
Es stimmt: ich habe solche Aufgaben nie in meinem Studium lösen müssen. Aber ich kann mathematische Sachverhalte und Methoden übertragen und habe gelernt, wie man z.B. Terme abschätzt oder Extrenstellen berechnet (auch ohne Maple). Du mußt verstehen lernen, welche Schritte gemacht werden, die Rechnung ist in dem Sinne nebensächlich, da sich die Zahlen bei jeder Aufgabe ändern können. Fange an, selbständig zu arbeiten (- ich erinnere an Viertels Anmerkung bei der Rechteckregel) - , sonst ist jede Aufgabe (egal mit welchen Zahlen) wieder völlig neu für dich. In der Mathematik kann man sich kein Schubladendenken leisten, weil man oft das Wissen aus verschiedenen Bereichen kombinieren muß, um Aufgaben zu lösen.
Hier meine Erklärung zu dem Beispiel aus deinen Übungen
y=f(x)=sin(x)
n=1, a=x_0=0, b=x_1 =\pi/2 (a und b sind die Intervallgrenzen)
f´(x)=cos(x) -> klar
f´´(x)=-sin(x) -> auch klaro
Aber hier:
produkt((x-x_i),i=0,1)=(x-x_0)*(x-x_1)=(x-0)*(x-\p/2)=x^2-\p/2\.x
Maximum wird bei x=\p/4 (Wie kommt er darauf?)
\blue\Weil er über die 1. Ableitung die MAximumstelle (Nullstelle von f'(x)) berechnet hat!
(\p/4)^2 (Wie kommt er hierauf?)
\blue\Er hat x=\p/4 eigesetzt in x^2-\p/2\.x
abs(sin(x)-P_1(x))<=1/(1+1)!*(\p/4)^2<=0,31 (Was hat er hier gerechnet?)
\blue\Er hat abgeschätzt : 1. abs(-sin(x))<=1
\blue \Er hat das Produkt abgeschätzt durch das Maximum
\blue und das Produkt 1/2*(\p/4)^2 berechnet.
tatsächliche maximale Abweichung: 0,21
\blue\Da hat jemand die Aufgabe durchgerechnet und genau geprüft, wie groß die
\blue\wirkliche Abweichung ist. Die Abschätzung eine Zeile höher geht ja vom
\blue\ungünstigsten Fall aus. So etwas müßtest du in einer Klausur nicht machen.
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Rico
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| Beitrag No.22, vom Themenstarter, eingetragen 2003-11-16
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Der cos(x) hat doch aber bei x=Pi/4 keine NST, oder????
Die liegt doch bei x=Pi/2.
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SchuBi
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| Beitrag No.23, eingetragen 2003-11-16
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Hallo, Rico!
Eine alte Weisheit sagt: wer lesen kann, ist klar im Vorteil.
Dein Prof oder Tutor oder wer auch immer hat doch nicht die Nullstelle vom cos bestimmt.
Aber hier:
g(x)=produkt((x-x_i),i=0,1)=(x-x_0)*(x-x_1)=(x-0)*(x-\p/2)=x^2-\p/2\.x
Maximum wird bei x=\p/4 (Wie kommt er darauf?)
\blue\Weil er über die 1. Ableitung die Maximumstelle (Nullstelle von g'(x)) berechnet hat!
g'(x)=2x-\p/2=0
(\p/4)^2 (Wie kommt er hierauf?)
\blue\Er hat x=\p/4 eigesetzt in g(x)=x^2-\p/2\.x
[ Nachricht wurde editiert von SchuBi am 2003-11-17 16:53 ]
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Rico
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| Beitrag No.24, vom Themenstarter, eingetragen 2003-11-16
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Na jetzt leuchtet was.
Danke schön.
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Rico
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| Beitrag No.25, vom Themenstarter, eingetragen 2003-11-16
|
Also ich bin nach langem hin und her nun auf ein Ergebnis gekommen. Könnte dies bite mal jemand überprüfen. Den Rechenweg hab ich mir nebenbei nur aufgeschmiert, weil ich ja noch nichts genau weiß.
Hier mein Ergebnis: (Also die Zahl, die an der Stelle steht, wo in der Sinus-Aufgabe die 0,31 steht)
... <= -9,9311 * 10^(-9)
P.S.: In der Beispielaufgabe mit dem Sinus wurde ja das lineare Polynom für die Fehlerberechnung überhaupt nicht verwendet, oder?
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SchuBi
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|  Beitrag No.26, eingetragen 2003-11-17
|
Hallo, Rico!
Es macht keinen Sinn, dein Ergebnis ohne Kenntnis deines Rechenweges zu überprüfen.
Den Rechenweg hab ich mir nebenbei nur aufgeschmiert, weil ich ja noch nichts genau weiß. Wenn du ähnlich sorgfältig gerechnet hast, könnte die Lösung auch dementsprechend sein.
PS: Wie kann das Ergebnis negativ sein, wenn du einen Betrag abschätzt?
[ Nachricht wurde editiert von SchuBi am 2003-11-17 13:27 ]
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Rico
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| Beitrag No.27, vom Themenstarter, eingetragen 2003-11-18
|
Ok.
Nochmal wegen der KLarheit.
Ich setzte folgendes in die Abschätzung ein:
1) f(x) ist meine gegebene Funktion
2) p_4(x) ist mein interpoliertes Polynom
3) M_5 ist das Maximum der 5. Ableitung der gegebenen Funktion im Intervall [-2,2]
4) Das hintere Produkt g(x) erhalte ich, indem ich die gegebenen Stützstellen einsetze. Von dem Polynom ermittle ich die erste Ableitung g´(x) und berechne von dieser ersten Ableitung die Nullstelle. Diese Nullstelle setze ich in g(x) ein und den ermittelten Wert multipliziere ich mit
M_5 / 5!
Dann hätte ich doch meinen gesuchten Fehler, oder?
Ist mein Fahrplan so richtig?
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SchuBi
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| Beitrag No.28, eingetragen 2003-11-18
|
Hallo, rico!
Grundsätzlich ist das korrekt. Es bleiben drei Fragen:
- Warum erhältst du bei der Abschätzung einen negativen Wert?
- Wie kommst du bei 3) auf das Maximum von M_5?
- Hast du deine Rechnungen von Hand ausgeführt oder dich auf MAPLE verlassen?
[ Nachricht wurde editiert von SchuBi am 2003-11-18 10:14 ]
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Rico
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| Beitrag No.29, vom Themenstarter, eingetragen 2003-11-18
|
Okay.
Ich hab mich jetzt durchgekämpft.
Folgendes:
Mein Interpolationspolynom P_4 (x) lautet (nach Newton)
P_4 (x) = 1/10 * x^4 - 3/5 *x^2 + 1
Meine 5. Ableitung der Funktion lautet
f_5 (x) = -240*x*(3*x^4 - 10*x^2 + 3)/(1 + x^2)^6
Dann hab ich mir die 6. Ableitung berechnet und davon die Nullstellen,
um die Maxima der 5. Ableitung zu bestimmen.
Der Wert x=-0,2282434744 ergab ein Maximum und der Funktionswert an
dieser Stelle lautet y=100,4589827. Die Intervallgrenzen wurden ebenfalls
untersucht, ergaben aber darunter liegende Werte. Ich habe dann die
7.Ableitung ermittelt, um zu prüfen, ob es sich um ein Maximum handelt.
Es bestätigte sich.
Damit lege ich M_5 mit 100,4589828 fest. Das geht doch, oder?
Mein Produkt am Ende ergibt
produkt(x - x_i ,i=0,4) = x^5 - 5*x^3 + 4*x = k(x)
Davon die erste Ableitung lautet
K´(x) = 5*x^4 - 15*x^2 + 4*x
Die ermittelten Nullstellen davon sind x_1 = 2,704159458 und x_2 = 0,2958405421.
Ich dachte mir nun, da x_1 nicht im Intervall [-2,2] liegt, brauch ich diese
Nullstelle nicht zu berücksichtigen.
x_2 habe ich in k(x) eingesetzt, und 1,05616609 herausbekommen.
Dann habe ich M_5 /(n+1)! berechnet, welches 0,83715819 ergab.
1,05616609 * 0,83715819 ergibt schließlich und endlich 0,8841780922.
Damit beträgt meine Fehlerabschätzung
\I 1/(1+x^2) - (1/10 * x^4 – 3/5 * x^2 + 1) \I <= M_5 /(n+1)! * produkt(x - x_i ,i=0,4) <= 0,8841780922
P.S.: Die Betragsstriche sind etwas ungünstig geraten.
Bin gespannt, was Du dazu sagst!
Ach ja, ich hab ausnahmslos alles im Kopf bzw. mit nem Taschenrechner
berechnet. Der ist uns gestattet.
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Rico
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| Beitrag No.30, vom Themenstarter, eingetragen 2003-11-19
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Ich hab mich natürlich wieder aml geirrt. Es kommen antstatt 2 Nullstellen, 4 Nullstellen heraus, weil ich bei der Berechnung
z=x^2
gesetzt habe, und vergaß, im Nachhinein wieder die Wurzel zu ziehen.
Also:
x_1 = 1,644432868
x_2 = -1,644432868
x_3 = 0,5439122559
x_4 = -0,5439122559
Die Rechnung ist jetzt natürlich verfälscht. Welche der Nullstellen brauche ich denn nun für meine Fehlerabschätzung?
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SchuBi
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| Beitrag No.31, eingetragen 2003-11-19
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Hallo, Rico!
Schön, daß du es geschaftt hast. Schaue dir doch einmal an, wie andere den fed benutzen - da gibt es sicher noch einiges zu entdecken. Man erhält die Betragsstriche mit abs(Term).
\blue\Deine Lösung mit Anmerkungen
Mein Interpolationspolynom P_4 (x) lautet (nach Newton)
P_4(x)=1/10*x^4-3/5*x^2+1
Meine 5. Ableitung der Funktion lautet
f_5(x)=-240*x*(3*x^4-10*x^23)/(1+x^2)^6
\red\Diese Ableitung stimmt nicht - Tippfehler??
Dann hab ich mir die 6. Ableitung berechnet und davon die Nullstellen,
um die Maxima der 5. Ableitung zu bestimmen.
\blue\Du brauchst eine obere Schranke für den Betrag der 5. Ableitung.
\blue\Deshalb mußt du die Minima ebenfalls berücksichtigen und die Randwerte
\blue x=2 und x=-2. f^(5)(2)=?? und f^(5)(-2)=??
\blue\Von diesen Werten mußt den betragsmäßig größten auswählen.
Der Wert x=-0,2282434744 ergab ein Maximum und der Funktionswert an
dieser Stelle lautet y=100,4589827. Die Intervallgrenzen wurden ebenfalls
untersucht, ergaben aber darunter liegende Werte. Ich habe dann die
7.Ableitung ermittelt, um zu prüfen, ob es sich um ein Maximum handelt.
Es bestätigte sich.
\blue\Bei komplizierten Ableitungen ist es oft einfacher, das Vorzeichen-
\blue\wechselkiterium anzuwenden. (weniger Rechenaufwand)
\red\g'(x_e)=0 und VZW von g'(x) in x_e=>x_e ist Extremstelle
Damit lege ich M_5 mit 100,4589828 fest. Das geht doch, oder?
\red\Rechne es bitte noch einmal!
Mein Produkt am Ende ergibt
produkt((x - x_i),i=0,4)=x^5-5*x^3+4*x=k(x)
Davon die erste Ableitung lautet
K´(x)=5*x^4-15*x^2+4*x
Die ermittelten Nullstellen davon sind x^2=2,704159458 bzw. x^2=0,2958405421.
Also: x_1=1,644432868 ; x_2=-1,644432868 ; x_3=0,5439122559 ; x_4=-0,5439122559
\blue\Hier gelten die gleichen Anmerkungen wie bei f^(5)(x) !
Dann habe ich M_5 /(n+1)! berechnet, welches 0,83715819 ergab.
1,05616609 * 0,83715819 ergibt schließlich und endlich 0,8841780922.
Damit beträgt meine Fehlerabschätzung
abs(1/(1+x^2)-(x^4/10 \–|3x^2/5+1))<=M_5/(n+1)!*produkt((x - x_i) ,i=0,4) <= 0,8841780922
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Rico
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Dabei seit: 16.10.2003
Mitteilungen: 860
| Beitrag No.32, vom Themenstarter, eingetragen 2003-11-19
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Also bis auf meine falsche 5. Ableitung verstehe ich den Rest nicht.
Meine 5. Ableitung der Funktion lautet nun
f_5(x)=-240*x*(3*x^4-10*x^2+3)/(1+x^2)^6
Mein M_5 ist doch richtig. Es ist betragsmäßig der höchste Wert im
Intervall. Also von y aus gesehen. Auch die Intervallgrenzen sind nicht größer.
Mit den 4 errechneten Nullstellen kann ich auch weiterhin nichts
anfangen. Ich bin jetzt irgendwie down, und bis Freitag schaff ich
das nicht nochmal.
Sorry, aber ... ich weiß es nicht besser.
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Rico
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Dabei seit: 16.10.2003
Mitteilungen: 860
| Beitrag No.33, vom Themenstarter, eingetragen 2003-11-19
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Na ja, die 5.Ableitung habe ich ja nun nochmal gebildet. Die sollte richtig sein. Aber der Rest...
P.S.: M_5 ist doch ein x-Wert, oder?
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Rico
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Dabei seit: 16.10.2003
Mitteilungen: 860
|  Beitrag No.34, vom Themenstarter, eingetragen 2003-11-21
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Also vielen vielen Dank für alles.
Ich hab´s dann doch noch hinbekommen und auch verstanden, was Du verbessert ist.
Tausend Dank nochmal.
Rico
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Rico hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Rico hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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