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  Rauminhalt von Rotationskörpern |
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matherein
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 |  Themenstart: 2009-08-27
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Hallo an alle Alle,
Aufgabe:
Gegeben sind die auf dem Intervall [0;3] defininierten Funktionen f mit f(x) = 1/2x^2 und g mit g(x) = mx mit 0
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viertel
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2009-08-27
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Hi Matherein,
hast Du Dir mal ne Zeichnung gemacht (hier mit m=1)?
\geo
ebene(300,300) x(-3,3) y(-3,3)
plot(1/(2*x*x))
plot(x)
c(FEFEFE) plot(3) plot(1000*(x-3)
c(red) fill2(0.5,1)
c(blue) fill2(1,0.1)
\geooff
geoprint()
"… und schließen zwei Teilflächen ein"
Etwa die rote und die blaue? Deren Flächen sind immer "gleich", nämlich ∞.
Gruß vom 1/4
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Siah
Senior
Dabei seit: 19.05.2002
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 |  Beitrag No.2, eingetragen 2009-08-27
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Ja, die Formulierung ist bei solchen Aufgaben oft schlecht. Gemeint sind die Flächen zwischen den Graphen. Du vergisst den Faktor m beim Einsetzen des Funktionsterms von g.
Gruß Siah
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viertel
Senior
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| Beitrag No.3, eingetragen 2009-08-27
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Autsch 
Es geht ja nicht um die Flächen, sondern um das Volumen, wenn der rote und der blaue Teil um die x-Achse rotieren.
Aber dann hat der rote Teil immer noch ein unendliches Volumen, blau ein endliches.
Oder ich bin zu doof, die richtigen Teilflächen zu identifizieren.
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Siah
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| Beitrag No.4, eingetragen 2009-08-27
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Ich denke es soll f(x)=1/2 x^2 in der Aufgabenstellung heissen (Im Hinblick auf Sinnhaftigkeit).
Gruß Siah
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matherein
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| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2009-08-27
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Hallo,
wie Siah schon richtig bemerkt hat habe ich mich bei dem f(x) vertippt. Es heißt richtig 1/2*x^2. Allerdings habe ich das m in g(x) doch gar nicht vergessen. Da m= 1 ist, heißt die Gleichung g(x) = x, oder nicht? Und das habe ich eingesetzt. Falls ich mich aber irren sollte, wäre ein kleiner Lösungsansatz für mich ganz hilfreich!
Bitte um Antwort
matherein
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Siah
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| Beitrag No.6, eingetragen 2009-08-27
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Hallo,
nein, die Aufgabe lautet doch, das m so zu bestimmen, dass die Volumina gleich sind. Da sollte man nicht vorher irgendwie m=1 setzen.
Gruß Siah
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viertel
Senior
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| Beitrag No.7, eingetragen 2009-08-27
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Sorry, aber einschließen tun sie nur die blaue Fläche:
\geo
ebene(300,300) x(-1,4) y(-1,4)
plot(1/2*x*x)
plot(x)
c(FEFEFE) plot(3) plot(1000*(x-3))
c(red) fill2(1,0.1)
c(blue) fill2(1,0.9)
\geooff
geoprint()
Wodurch soll die 2. Fläche (Rot), die gleich der blauen sein soll, begrenzt werden?
Irgendwas soll es wohl mit dem Intervall [0,3] zu tun haben. Aber eindeutig ist da nix 
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Siah
Senior
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| Beitrag No.8, eingetragen 2009-08-27
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Ja, die zweite Fläche soll rechts von der blauen, über der roten Fläche sein. Also zwischen den Graphen und der Achse x=3.
Gruß Siah
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viertel
Senior
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| Beitrag No.9, eingetragen 2009-08-27
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Also so:
\geo
ebene(300,300) x(-1,4) y(-0.1,4.9)
plot(1/2*x*x)
plot(x)
c(FEFEFE) plot(1000*(x-3)+4)
c(red) fill2(2.5,3.1)
c(blue) fill2(1,0.9)
\geooff
geoprint()
Nur halt nicht die Flächen, sondern die zugehörigen Rotationskörper.
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lula
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 | Beitrag No.10, eingetragen 2009-08-28
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Hallo
1.Wenn die Teilflaechen denselben Inhalt haben, dann noch nicht die zugehoerigen Rotationsflaechen.
2. Du musst zuerst den Schnittpunkt S (der von m abhaengt) von f und g bestimmen. Dann die Rotationsflaeche von 0 bis S = der von S bis 3.
Wie kommst du denn auf deine eigenartigen Grenzen?
Bis dann lula
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Tetris
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| Beitrag No.11, eingetragen 2009-08-28
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\quoteon(2009-08-28 01:08 - lula in Beitrag No. 10)
2. Du musst zuerst den Schnittpunkt S (der von m abhängt) von f und g bestimmen. Dann die Rotationsfläche von 0 bis S = der von S bis 3.
Wie kommst du denn auf deine eigenartigen Grenzen?
\quoteoff
Hi lula, ist die benötigte Schnittstelle denn nicht x=2m?
Lg, T.
PS @matherein: Mit allgemeinem g (vgl. Siahs Hinweis in Beitrag 6)
ergibt sich nach Deinem Ansatz als Bestimmungsgleichung für m:
\pi*int(m^2*x^2-1/4*x^4,x,0,2m)=\pi*int(1/4*x^4-m^2*x^2,x,2m,3)
(Bei der weiteren Rechnung muss das \pi nicht mitgeschleppt werden.)
Woher stammt denn der Hinweis "Zusatzinfo: Bei m=1 haben die
beiden Teilflächen den selben Flächeninhalt."? Soll der Bearbeiter
der Aufgabe auf's Glatteis geführt werden?
Lg, T.
[ Nachricht wurde editiert von Tetris am 28.08.2009 11:15:43 ]
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matherein
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| Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2009-08-29
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Hallo Tetris,
das mit der Zusatzinfo war meine Idee und stand nicht im Buch. Beim nächsten Mal lasse ich sowas dann besser weg.
Hier ist mein Rechenweg:
\pi*int(m^2*x^2-1/4*x^4,x,0,2m)=\pi*int(1/4*x^4-m^2*x^2,x,2m,3)
\pi*stammf(m^2*1/3*x^3-1/20*x^5,0,2m)=\pi*stammf(1/20*x^5-m^2*1/3*x^3,2m,3)
m^2*1/3*(2m)^3-1/20*(2m)^5=243/20-9*m^2-(1/20*(2m)^5-m^2*1/3*(2m)^3)
m^2*1/3*8m^3-1/20*32m^5=243/20-9*m^2-(1/20*32m^5-m^2*1/3*8m^3)
8/3*m^5-8/5*m^5=243/20-9*m^2-8/5*m^5+8/3*m^5
9*m^2=243/20
m^2=243/20*1/9
m=sqrt(243/180)
Das Ergebnis laut Lösungsbuch ist aber m=3/10*sqrt(15)
Wo ist mein Rechenfehler?
Bitte um Antwort
matherein
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Ex_Senior
| Beitrag No.13, eingetragen 2009-08-29
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Hallo,
\quoteon(2009-08-29 13:20 - matherein in Beitrag No. 12)
Wo ist mein Rechenfehler?
\quoteoff
nirgends. Vergleiche mal die beiden Zahlenwerte etwas genauer.
Kürzen, teilweises Wurzelziehen...
Gruß, Diophant
[ Nachricht wurde editiert von Diophant am 29.08.2009 13:23:44 ]
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matherein
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| Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2009-08-29
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Danke für die Antwort, Diophant.
Ich hatte vergessen die Wuzel von 243/180 zu ziehen. Man bekommt ja bei beiden Ergebnissen 1,162 raus. Ich kriege das mit dem "Kürzen, teilweises Wurzelziehen..." aber irgendwie nicht hin. Gekürzt ergibt das doch sqrt(27/20). Das kann man noch als sqrt((9*3)/(10*2)) schreiben. Bei welcher Zahl soll ich jetzt die Wurzel ziehen, um auf 3/10*sqrt(15) zu kommen?
matherein
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fru
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 | Beitrag No.15, eingetragen 2009-08-29
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Hallo matherein!
\quoteon(2009-08-29 15:47 - matherein in Beitrag No. 14)
Ich hatte vergessen die Wuzel von 243/180 zu ziehen. Man bekommt ja bei beiden Ergebnissen 1,162 raus.
\quoteoff
\
Nein, das ist nur ein rationaler Näherungswert für die Wurzeln.
Um zu überprüfen, ob sqrt(243/180)=3/10*sqrt(15) eine wahre Aussage ist, könntest Du sie z.B. zu
243/180=9/100*15
und das dann weiter zu
243*100=9*15*180
umformen, was den Test sicherlich erleichtert.
Möglich wäre natürlich auch das von Diophant angeregte
sqrt(243/180)=sqrt(3^5/(2^2*3^2*5))=sqrt(3^3/(2^2*5))=sqrt(3^2/(2^2*5^2)*3*5)=3/(2*5)*sqrt(3*5)
Liebe Grüße, Franz
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chryso
Senior
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 | Beitrag No.16, eingetragen 2009-08-29
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\quoteon
sqrt((9*3)/(10*2)). Bei welcher Zahl soll ich jetzt die Wurzel ziehen, um auf 3/10*sqrt(15) zu kommen?
\quoteoff
Obwohl dir fru auf deine Frage schon geantwortet hat, will ich dir noch eine ganz einfache Methode des teilweisen Wurzelsziehens zeigen:
Zuerst einmal zerlegst du in Primfaktoren und erweiterst den Nenner so, dass dort jeweils die Primfaktoren eine gerade Anzahl haben.
sqrt((9*3)/(10*2)) = sqrt((3*3*3)/(5*2*2))= sqrt((3*3*3*5)/(5*2*2*5))=
Jeweils zwei gleiche Faktoren p*p kann man zusammenfassen und ein p 'herausziehen'. (Zähler und Nenner getrennt.)
3/(5*2)* sqrt(3*5) = 3/10 * sqrt(15)
LG Chryso
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matherein
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Dabei seit: 25.07.2009
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| Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2009-08-30
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Danke fru und chryso für die gezeigten Methoden des teilweisen Wurzelziehens.
Bis zum nächsten Mal.
matherein
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2023-11-28 15:46 ?
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