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Lineare Algebra » Eigenwerte » Orthogonale Eigenvektoren
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Universität/Hochschule Orthogonale Eigenvektoren
Florian999
Ehemals Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 14.01.2009
Mitteilungen: 414
  Themenstart: 2009-10-04

Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind bei symmetrischen Matrizen stets orthogonal. Gilt diese Aussage ausschließlich bei symmetrischen Matrizen?


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Wally
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.11.2004
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Wohnort: Dortmund, Old Europe
  Beitrag No.1, eingetragen 2009-10-04

\ Hallo, Florian, das musst du ein bischen genauer spezifizieren. Wenn die Matrix gar nicht diagonalisierbar ist, gibt es ein einfaches Gegenbeispiel: (1,1,0;0,1,0;0,0,2) Aber wahrscheinlich meinst du so etwas: Sei A eine Matrix, die nur relle EW hat und es gebe eine ONB aus Eigenvektoren. Dann ist A symmetrisch. Versuche doch mal zu folgern, dass das richtig ist. Tipp: AP=PJ, J Jordan-Diagonalmatrix, P kann man dann orthogonal wählen. Wally


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Nebukat
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 06.10.2006
Mitteilungen: 229
  Beitrag No.2, eingetragen 2009-10-05

moin, es gilt: Eine Matrix A\el\ \IC^(nxn) heißt normal, falls gilt: AA^\*=A^\* A mit A^\* ist die konjuguert-komplexe Matrix von A. Sei A\el\ \IC^(nxn) normal, so sind EV zu unterschiedlichen EW orthogonal. Bsp für normale Matrizen: - reele symmetrische\/schiefsymmetrische Matrizen - unitäre Matrizen - Diagonalmatrizen - hermitesche\/schiefhermitesche Matrizen hoffe das hilft dir ein bisschen weiter, fröhliche grüße


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Wally
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 9357
Wohnort: Dortmund, Old Europe
  Beitrag No.3, eingetragen 2009-10-05

Hallo, Nebukat \ A^\* ist die komplex-konjugierte Transponierte. Wally


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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
XadraX
Senior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 25.10.2008
Mitteilungen: 891
  Beitrag No.4, eingetragen 2009-10-06

Hi zum reellen Fall: Sei A eine normale Matrix. Dann ist \mue_A vielfachheitenfrei. Allgemein sind die Projektionen in die Haupträume Polynome in A. Da A normal ist, sind auch die Polynome in A normal, daraus folgt, dass die Projektionen in die Haupträume symmetrisch sind, denn normale Projektionen sind bereits symmetrisch. Also stehen die Haupträume paarweise senkrecht zueinander. Da man für die Eigenräume jeweils eine ONB wählen kann, erhält man somit eine Basis aus Eigenvektoren, die fast eine ONB ist, denn Teiler des Min.Poly. vom Grad zwei liefern keine Eigenvektoren. Somit gilt die Aussage schon einmal für normale Matrizen. Die Umkehrung gilt, nach dem Gegenbeispiel von Wally, auch nicht für normale Matrizen. Gruß, XadraX


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dkessler
Neu Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 18.08.2021
Mitteilungen: 1
  Beitrag No.5, eingetragen 2021-08-18

\quoteon(2009-10-04 16:52 - Wally in Beitrag No. 1) \ Wenn die Matrix gar nicht diagonalisierbar ist, gibt es ein einfaches Gegenbeispiel: (1,1,0;0,1,0;0,0,2) \quoteoff Diese Matrix ist ja auch nicht symmetrisch..? Laut dem Spektralsatz kann es kein Gegenbeispiel über R geben, denn über R sind alle symmetrischen Matrizen auch orthogonal diagonalisierbar, sprich alle EV zu verschiedenen EW sind orthogonal.


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Wally
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Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 9357
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  Beitrag No.6, eingetragen 2021-08-18

Hallo, dkessler, herzlich willkommen auf dem Matheplaneten. Das Gegenbeispiel ist eines zu: die Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal, aber die Matrix ist nicht symmetrisch. Viele Grüße Wally


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