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 Differentialgleichung |
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klaushatergebnisraus
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 21.11.2009
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Wohnort: Sachsen
 |  Themenstart: 2010-03-24
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hallo ich habe bald meine analysis vordiplomsprüfung und bin bei der vorbereitung auf folgende frage gestoßen:
warum hat der lösungsraum linearer DGLs die Dimension n?
wäre nett wenn mir jemand erklären könnte warum das so ist!
Danke!
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Ex_Senior
|  Beitrag No.1, eingetragen 2010-03-24
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Hallo,
dein n ist die Ordnung der DGL? Daraus sollte doch die Antwort eigentlich schon ersichtlich werden.
Gruß, Diophant
[ Nachricht wurde editiert von Diophant am 24.03.2010 12:28:22 ]
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klaushatergebnisraus
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2010-03-24
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achso also einfach weil ich eine DGL n-ten grades auf n differentialgleichungen zurückführen kann?
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Ex_Senior
| Beitrag No.3, eingetragen 2010-03-24
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Hallo,
\quoteon(2010-03-24 12:37 - klaushatergebnisraus in Beitrag No. 2)
achso also einfach weil ich eine DGL n-ten grades auf n differentialgleichungen zurückführen kann?
\quoteoff
wenn du das so formulierst, muss aber sicherlich der Begriff Differentialgleichungen noch durch die Eigenschaft 1. Ordnung ergänzt werden.
Ich hatte mir jetzt eigentlich nur überlegt, wie oft man theoretisch integriert, bis man die Lösung einer solchen DGL erhält. Und da ausdrücklich von linearen DGLen die Rede ist, gibt es keinen anderen Grund für mehrdeutige Lösungen als eben die einzelnen Integrationen.
Meine Überlegung erhebt aber keinesfalls den Anspruch, 'klausurtauglich' zu sein.
Gruß, Diophant
[ Nachricht wurde editiert von Diophant am 24.03.2010 12:43:38 ]
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klaushatergebnisraus
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2010-03-24
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das klingt aber logisch!vielen dank dafür!
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Dr_Sonnhard_Graubner
Senior 
Dabei seit: 06.08.2003
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 | Beitrag No.5, eingetragen 2010-03-24
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klaushatergebnisraus
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2010-07-11
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auch wenn es jetzt schon eine weile her ist ,dass mit den n integrationskonstanten verstehe ich nicht.Sind das die einfachen konstanten die beim integrieren entstehen?
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Ex_Senior
| Beitrag No.7, eingetragen 2010-07-11
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Hallo,
das kommt daher, dass die Ableitung der konstanten Funktion stets gleich Null ist. So 'weiß man beim unbestimmten Integral nicht' welche Konstante da gestanden haben könnte und schreibt
\
\int(f(x),x)=F(x)+C
Und bei jeder notwendigen Integration kommt eben eine solche Konstante als Unbekannte ins Spiel und bildet eine neue Dimension des Lösungsraums. Und dass man n-mal integrieren muss, dürfte ja klar sein.
Gruß, Diophant
[ Nachricht wurde editiert von Diophant am 11.07.2010 19:45:13 ]
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klaushatergebnisraus
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2010-07-11
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tut mir leid aber ich stehe auf dem schlauch.Vielleicht habe ich auch probleme mit der differentialgleichung n-ter ordnung.Also mal am beispiel n=2:
y''-y=0.
Charakteristisches polynom:
\lambda^2=1
Also Lösung:
c_1*e^t+c_2*e^(-t)
Was wären hier die integrationskonstanten?
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Ex_Senior
| Beitrag No.9, eingetragen 2010-07-11
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Hi,
c1 und c2
Gruß, Diophant
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klaushatergebnisraus
Ehemals Aktiv
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| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2010-07-11
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Hi,
aber
c_1 und c_2
müssen doch nicht linear unabhängig sein oder?wenn z.b. beide 1 sind ist das doch auch eine lösung!?
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Dr_Sonnhard_Graubner
Senior
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| Beitrag No.11, eingetragen 2010-07-11
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Hallo, liest du auch mal das, was man dir schreibt? C_1 und C_2 sind beliebige reelle Konstanten.
Viele Grüße,Sonnhard.
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klaushatergebnisraus
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| Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2010-07-11
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Es tut mir leid aber ich verstehe es wirklich nicht!also in dem Beispiel spannen doch
e^t und e^(-t)
meinen 2 dimensionalen lösungsraum auf oder?ich weiß aber nicht warum das immer so sein muss.
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Wally
Senior 
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 9774
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 | Beitrag No.13, eingetragen 2010-07-11
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\
Voraussetzung: die Koeffizientenfunktionen sind stetig.
1. Eine lineare Dgl. n-ter Ordnung lässt sich äquivalent in ein lineares n\times n-System 1. Ordnung umschreiben.
2. Dies hat die Form Y'=A(x)Y Y Vektor, A stetige Matrix
3. Der Satz von Picard-Lindelöf sagt, dass jedes AWP Y'=A(x)Y, Y(x_0)=W eine eindeutige Lösung U_W hat.
4. Direktes Nachrechnen mit einem Fundamentalsystem ergibt, dass die Abbildung W-> U_W linear ist.
5. Wegen W= U_w(x_0) ist die Abbildung injektiv und surjektiv \(siehe 3.\)
6. Daher ist W->Y_W ein Vektorraumisomorphismus, und der Raum der Lösungen ist n-dimensional.
Wally
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lula
Senior 
Dabei seit: 17.12.2007
Mitteilungen: 11545
Wohnort: Sankt Augustin NRW
 | Beitrag No.14, eingetragen 2010-07-11
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Hallo
Vielleich leuchtet dir mehr ein, dass man ja zu einer Dgl. n ten grades auch n fache Anfangsbed. vorgeben kann, bei deinem y''-y=0 also y(0) und y'(0) physikalisch gesehen: wenn man die beschleunigung in jedem Moment kennt, hilft das um den Ort zu bestimmen wenig, wenn man nicht zu einem Zeitpunkt den Ort und die Geschw. kennt.
da du den satz kennen solltest, dass zu jedem Anfangswert die Lösung eindeutig ist, kommt man mit weniger oder mehr als 2 bzw. n Konstanten nicht aus.
bis dann lula
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