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  Rotationskörper, Volumen |
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ahmedhos
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 |  Themenstart: 2010-03-26
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Hallo zusammen,
Ein Zylinder und zwei Paraboloide schneiden sich. Gesucht ist das Volumen, das durch Drehung der gezeichneten Flächen um die y-Achse entsteht . Mein Problem ist, daß ich das Volumen der Schnittfigur V_3 nicht bestimmen kann.
Ich möchte V_3 bestimmen, denn V_3 wird zwei mal berechnet. Einmal beim Volumen der Wanddicke der Paraboloide und das zweite mal beim Volumen des Zylinders. Also muß V_3 einmal abgezogen werden.
Ich komme einfach nicht dahinter und bitte um Hilfe. Danke im voraus.
y_1(x) = 12/605 * x^2 <=> x_1(y) = +- (11*sqrt(5))/(2*sqrt(3))*sqrt(y)
y_2(x) = 11/500 * x^2 + 5 <=> x_2(y) = +- 10 * sqrt(5)/sqrt(11) * sqrt(y-5)
P(50*(sqrt(3))/(sqrt(11));20)
S(50*(sqrt(3))/(sqrt(11)); 18000/1331)
Gruß
Ahmed
[ Nachricht wurde editiert von ahmedhos am 26.03.2010 14:08:11 ]
[ Nachricht wurde editiert von ahmedhos am 28.03.2010 10:51:54 ]
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viertel
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2010-03-26
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Mein Appell an Dich, Bilder in vernünftiger Größe, ohne sinnlosen weißen Rand zu erstellen hat anscheinend nichts gebracht 
Und was sollen wir uns jetzt aus dem Bild für Angaben raussuchen?
Wie wäre es mit einem gescheiten Aufgabentext?
Gruß vom 1/4
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ahmedhos
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2010-03-26
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Hallo 1/4,
Ich habs korrigiert. Ich hoffe, daß das Bild jetzt in Ordnung ist.
Gruß
Ahmed
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Frasier
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 | Beitrag No.3, eingetragen 2010-03-26
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Hi,
wieso kannst du S nicht bestimmen?
Der x-Wert ist der selbe wie bei P (und der ist ja gegeben).
Diesen setzt du in y1 ein. Dann erhältst du den y-Wert von S.
Ist das gemeint?
lg
F.
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ahmedhos
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2010-03-26
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Hallo Fraiser,
Sorry, ich denke nach der Aufgabe seit gestern und konnte deshalb jetzt nicht daraufkommen, obwohl ich gestern darauf gekommen bin ... Danke. Ich habs gerechnet und oben steht das Ergebnis ...
Gruß
Ahmed
[ Nachricht wurde editiert von ahmedhos am 26.03.2010 14:00:20 ]
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Frasier
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| Beitrag No.5, eingetragen 2010-03-26
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Hi,
ist die Aufgabe jetzt gelöst? Dann bitte abhaken.
Andernfalls, wo sind noch Probleme?
lg
F.
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ahmedhos
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|  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2010-03-26
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Hallo Frasier,
Ich habe gerade oben mein Problem geschildert "mit besserer Formulierung". Danke für die Hilfe.
Gruß
Ahmed
[ Nachricht wurde editiert von ahmedhos am 26.03.2010 14:03:20 ]
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ahmedhos
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|  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2010-03-26
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Hi,
Habe ich meine Frage verständlich genug erklärt oder fehlt irgendetwas oder so?
Gruß
Ahmed
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Frasier
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| Beitrag No.8, eingetragen 2010-03-26
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Hi,
die Bezeichnungen V1, V2, V3 usw. hätten ruhig mit in das Bild gekonnt.
Hier
habe ich aufgezeichnet, wie man das Volumen unterteilen kann.
Das lila schraffierte Volumen und das grün umrandete kannst du mit der Formel für Rotationskörper (Rotation um y-Achse) ausrechnen:
\
V=\pi*int(x^2,y,a,b)
mit x=f(y), d.h. die begrenzenden Kurven nach x aufgelöst.
Die anderen Volumina bekommst du ja durch einfache Geometrie.
Mein schwarz schraffiertes ist dein weißes Volumen.
Kommst du damit klar?
lg
F.
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lula
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 | Beitrag No.9, eingetragen 2010-03-26
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Hallo Ahmed
1. was mich an deiner Zeichnung stört, du hast d an verschiedenen Stellen eingezeichnet, als ob es überall 5 wäre. in Wirklichkeit ist es aber nur am tiefsten Punkt (Scheitelabstand) 5
waren die Parabeln gegeben oder hast du die irgendwie ausgerechnet?
2. ist mir unklar welches Volumen du willst. das gelb gezeichete insgesamt? Dein Text sagt das nicht.
Das Gelb gezeichnet ist doch durch Zylinder - drinligenden Stüch der parabeln +ausserhalb liegendem Stück der Parabel gegeben.
dien V1+V2 ist ber das gesamte Volumen zw. den Paraboloiden?
Bis dann lula
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.7 begonnen.]
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ahmedhos
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| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2010-03-28
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Hallo Frasier und hallo Lula,
@ Frasier: Das mit der Unterteilung ist gar keine schlechte Idee. Danke! Ich versuchs heute Abend damit und geb dir dann Bescheid, ob es funktioniert hat.
@ Lula: In der eigentlichen Aufgabe ist lediglich folgende Skizze gegeben und aus der Skizze habe ich dann die Parabeln irgendwie ausgerechnet:
Ich würde sagen, daß die Dicke überall = 5 ist.
Das Volumen der Schnittfigur wäre eine gute Hilfe....
Gruß
Ahmed
[ Nachricht wurde editiert von ahmedhos am 28.03.2010 10:50:16 ]
[ Nachricht wurde editiert von ahmedhos am 29.03.2010 10:46:37 ]
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viertel
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| Beitrag No.11, eingetragen 2010-03-28
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Ich dachte, wir hätten uns drauf geeinigt, diese Riesenbilder zu vermeiden. Und ich hatte Dir erklärt, wie man mit MS Paint den weißen Rand abschneidet.
Und jetzt kommst Du wieder mit bildschirmfüllenden Zeichnungen 
Die % Angabe bei der Bildbreite ist überflüssig (überhaupt die width Angabe), wenn die Bilder selbst schon eine anständige Größe haben.
Mit den paar Angaben in der Skizze kann man die Parabelgleichungen nicht aufstellen. Außerdem sind das keine Parabeln, was Du da skizzierst, es sind Hyperbeln (zumindest denen ähnlicher als Parabeln). Oder Du hast die Information, daß es Parabeln sein sollen, dann ist es halt nur eine grobe Skizze. Aber trage bitte alle Angaben ein, die gegeben sind.
Die eingetragene Wanddicke im ersten Bild (Themenstart) kann nicht sein. Rechts oben trägst Du die Dicke als horizontalen Abstand ein, links hingegen als Wandstärke (die bei zwei Parabeln sowieso nicht überall gleich sein kann).
Du solltest einfach die Aufgabe so exakt mit allen Informationen hier wiedergeben, wie Du sie erhalten hast. Ansonsten wird das nix.
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ahmedhos
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|  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2010-03-29
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Hallo,
@ 1/4: Mit Paint konnte ich den weißen Rand nicht abschneiden, deshalb habe ich die Skizze einfach gelöscht und ich gebe am besten die Eigentliche Aufgabe Wort für Wort an.
"Oder Du hast die Information, daß es Parabeln sein sollen, dann ist es halt nur eine grobe Skizze" <=> Das stimmt
(die bei zwei Parabeln sowieso nicht überall gleich sein kann)
Warum kann es nicht gleich sein? Es muß aber gleich sein, weil die Wandstärke konstant=5 sein muß.
@ Frasier: Mit der Methode konnte ich nix anfangen, aber ich weiß, daß es so, wie du es beschrieben hast, funktionieren muß! :-)
Aufgabe Wort für Wort:
Weihwasserbecken in Form einer Parabel hat 1m hohen Zylinder als Sockel. Der Sockel ist 20 cm in das Becken eingelassen. Der Beckenrand ist 40 cm über dem Sockel und hat einen Durchmesser (insgesamt) von einem Meter, die Wandstärke beträgt 5 cm.
Berechne den Materialverbrauch.
["Zylinder + Wandstärke ("ohne die Schnittfigur")"]
Gruß
Ahmed
[ Nachricht wurde editiert von ahmedhos am 29.03.2010 10:47:53 ]
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goeba
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| Beitrag No.13, eingetragen 2010-03-29
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Hallo Ahmed,
wer hat denn die Aufgabe gestellt? Das Problem ist, dass die Parallelkurve einer Parabel keine Parabel ist.
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ahmedhos
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| Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2010-03-29
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Hi,
Wieso ist das denn so? Ich dachte doch, daß mein obiges Bild alles dazu sagt.
Erleuchte mich bitte! 
Gruß
Ahmed
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fru
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 | Beitrag No.15, eingetragen 2010-03-30
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Hallo Ahmed!
\
\geo
ebene(400,600) x(-4,4) y(-1,11)
plot(x^2)
plot(x^2+2)
\geooff
geoprint()
Vielleicht reicht das ja schon zur Erleuchtung ?
Die beiden Parabeln sind kongruent!
Liebe Grüße, Franz
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viertel
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| Beitrag No.16, eingetragen 2010-03-30
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@fru
Deine Parabeln sind schon kongruent, und der Abstand variiert offensichtlich.
Aber ahmedhos' Parabeln (siehe Funktionen im Bild in Beitrag 10) sind nicht kongruent. Und sie verlaufen anschaulich recht gut parallel. Erweitert man aber mal den Bereich, dann sieht man, daß sie doch auseinander laufen:
@ahmedhos
Das Problem der Parallelkurve ist wirklich eklig zu berechnen. Vor allem gibt es dabei Phänomene, die Du Dir erst mal gar nicht vorstellen kannst:
Macht man den Parallelabstand klein genug, dann verschwinden die "Fischschwänze" (auf die Animation habe ich verzichtet):
Aber m.M.n. ist so eine Parallelkurve niemals eine bloße Verschiebung und Skalierung der Originalkurve.
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viertel
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| Beitrag No.17, eingetragen 2010-03-30
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\quoteon(2010-03-29 10:45 - ahmedhos in Beitrag No. 12)
Aufgabe Wort für Wort:
Weihwasserbecken in Form einer Parabel hat 1m hohen Zylinder als Sockel. Der Sockel ist 20 cm in das Becken eingelassen. Der Beckenrand ist 40 cm über dem Sockel und hat einen Durchmesser (insgesamt) von einem Meter, die Wandstärke beträgt 5 cm.
\quoteoff
Nach diesem Text ist Deine Zeichnung und die Formeln in Beitrag 10 falsch. Dein Beckendurchmesser von 1m ist der Innenrand, die 1m sollen aber der Außenrand sein.
Außerdem ist unklar, was "eingelassen" heißen soll. Gelten die 20cm für die Innen- (linke Linie) oder die Außenwand (rechte Linie) des Beckens?
Und daß die Wandstärke alles andere, nur nicht 5cm ist (außer im Scheitel), hatten wir ja schon. Selbst am oberen Rand stimmt es nicht. Denn die Parabelfunktionen sind für horizontale 5cm berechnet, der Abstand (also die Wandstärke) wird aber senkrecht zur Kurve gemessen (siehe die Parallelkurven in meinem vorigen Post).
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fru
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| Beitrag No.18, eingetragen 2010-03-30
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\
Die Parallelkurven mit Abstand a zur Parabel y=x^2 kann man z.B. durch Parametrisierung ermitteln. Wenn t alle reellen Zahlen durchläuft, so wandert der Punkt P(t,t^2) über die ganze Parabel.
In P ist die Tangentensteigung gleich 2t, also ist
(t;t^2)+a*(-2t;1)/sqrt((-2t)^2+1^2)
der Ortsvektor des Punktes
P'(t-2at/sqrt(1+4t^2),t^2+a/sqrt(1+4t^2))
auf einer der beiden zum Abstand a gehörenden Parallelkurven. PP'^> steht senkrecht auf der Tangente in P. Eliminieren des Parameters t aus den zwei Gleichungen
x=t-2at/sqrt(1+4t^2)
y=t^2+a/sqrt(1+4t^2)
ergibt die Gleichung der Parallelkurve in der Form f(x,y)=0.
Man braucht dies wohl gar nicht konkret auszuführen, um zu erkennen, daß diese neue Kurve keine Parabel mehr ist. Die Forderung, daß die Wandstärke konstant \(gleich a) ist, steht daher in Widerspruch zur Forderung, daß "das Becken die Form einer Parabel" hat. Denn selbst wenn man diese falsche Formulierung durch das damit offensichtlich gemeinte "die Form eines Drehparaboloids" ersetzt, so soll sie doch sicherlich bedeuten, daß sowohl die Innen\- als auch die Außenfläche Paraboloide sind.
Man könnte nun zwar raten, was sich der Autor dabei gedacht haben mag, aber: Obwohl ich vermutlich richtig liegen würde, lasse ich es doch lieber bleiben. Wenn Du, Ahmed, im Beitrag No. 12 tatsächlich die "Aufgabe Wort für Wort" gepostet hast, dann handelt es sich um eine sehr schlecht gestellte Aufgabe. Statt sie \(um sie überhaupt sinnvoll behandelbar zu machen) umzuformulieren, sollte man dem Autor besser klarmachen, was er damit verbrochen hat. Das läßt sicherlich eher zukünftig Besseres von ihm erwarten als das Vertuschen der Unzulänglichkeiten durch eine private Neufassung der Aufgabenstellung.
Liebe Grüße, Franz
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.16 begonnen.]
[ Nachricht wurde editiert von fed am 01.04.2010 03:09:41 ]
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ahmedhos
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| Beitrag No.19, vom Themenstarter, eingetragen 2010-03-31
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Alles klar. Vielen Danke @ Franz und @ 1/4 für die SUPER Leistung! Ich vergesse einfach diese hässliche Aufgabe. Aber ich wollte nur noch wissen wie du (Franz) auf diese Parametresierung für x und für y gekommen bist, um eine Parallele Kurve zu einer Parabel zeichnen zu können.
@ 1/4: Wirklich eklig!!
Gruß
Ahmed
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fru
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| Beitrag No.20, eingetragen 2010-04-01
|
\
Hi Ahmed!
Die Parametrisierung der Ausgangskurve ist Dir ja sicherlich klar:
Setzt man
x=t
\(damit wählt man also die Abszisse x als Parameter), so folgt aus y=x^2 sofort
y=t^2,
was OP^>=(x;y)=(t;t^2) für die Ortsvektoren der Parabelpunkte P(t) liefert.
Wegen y'=2x ist 2t der Tangens des Winkels zwischen der Tangente und der positiven x\-Richtung, daher ist
r^>=(1;2t)
ein Richtungsvektor der Tangente. Der Abstand a zur Parallelkurve soll nun senkrecht zur Parabel gemessen werden, also brauchen wir einen Normalvektor zu r^>. Wegen
(1;2t)*(-2t;1)=1*(-2t)+2t*1=-2t+2t=0
kann man dafür z.B.
n^>=(-2t;1)
wählen, denn das Verschwinden des skalaren Produkts zeigt n^> \senkrechtauf r^>.
n^> hat den Betrag sqrt(1+4*t^2), also hat der Vektor
v^>:=a*n^>/abs(n^>)=a*(-2t;1)/sqrt(1+4*t^2)
den Betrag abs(a), sodaß der durch seinen Ortsvektor
OP'^>=OP^>+v^>=(t;t^2)+a*(-2t;1)/sqrt(1+4*t^2)=(t-2at/sqrt(1+4t^2);t^2+a/sqrt(1+4t^2))
definierte Punkt P' vom Punkt P den Abstand abs(a) hat und PP'^>=OP'^>-OP^>=v^> senkrecht zur Tangente in P ist. Wenn t ganz \IR durchläuft, so wandert P(t) entlang der Parabel und P'(t) entlang einer der Parallelkurven im Abstand abs(a).
Liebe Grüße, Franz
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ahmedhos
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| Beitrag No.21, vom Themenstarter, eingetragen 2010-04-01
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Hallo Franz,
Oh man, das ist krass. Einfach Vektoraddition! ... Danke, Franz!
Aber sag mal ...
kann man aus dieser Parametresierung:
OP'^> = (t-2at/sqrt(1+4t^2);t^2+a/sqrt(1+4t^2))
auf eine Form wie:
OP'^> = (t;?)
kommen?
Dann hätten wir nämlich: y(x) = ?
Geht das?
Nochmals danke schön für die super Erklärung!
Gruß
Ahmed
[ Nachricht wurde editiert von ahmedhos am 01.04.2010 22:28:18 ]
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| Beitrag No.22, eingetragen 2010-04-01
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Du hast die "Fischschwänze" in Beitrag #16 gesehen? Wie soll es dafür eine explizite Funktion geben? Ach so, die Hauptfunktion war dort 3. Grades. Keine Sorge: bei 2. Grades passiert, bei entsprechendem Abstand, genau das gleiche.
Und wenn der Abstand klein genug ist?
Dann ändert das an den Formeln und deren (Nicht)Auflösbarkeit gar nichts.
Die Funktion y=x2 und die Parallelkurven im Abstand 0.1, 0.3, …, 1.1
Es gibt, soweit ich das sehe, nur 2 Kurventypen, bei denen der Parallelabstand einfach aufzustellen ist.
Welche?
[ Nachricht wurde editiert von viertel am 01.04.2010 23:25:32 ]
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ahmedhos
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| Beitrag No.23, vom Themenstarter, eingetragen 2010-04-02
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Hallo 1/4,
Die Gerade und De ...?
Gruß
Ahmed
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viertel
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| Beitrag No.24, eingetragen 2010-04-02
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Die Gerade : ok
Was aber meinst Du mit "De" 
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ahmedhos
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|  Beitrag No.25, vom Themenstarter, eingetragen 2010-04-02
|
Hi,
Kreis!!
lg,
Ahmed
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viertel
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| Beitrag No.26, eingetragen 2010-04-02
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Den meinte ich auch 
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