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| Autor |
 Warum ist e^x eine Stammfunktion von e^x ? |
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hellsy
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 03.03.2010
Mitteilungen: 101
Wohnort: Köln
 |  Themenstart: 2010-04-01
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hallo zusammen;
ich komme leider nicht so ganz mit der herleitung des integranden von e^x klar.
die die grundformel lautet ja: int(x^n)=1/(n+1)*x^(n+1)
aber bei der bildung der stanfunktion von exponentialfunktionen habe ich doch nch so meineproblemchen.
wenn doch e^x aufgeleitet e^x ergibt.dan muss es doch eigentlich auch durch einsetung in die oben gennante grundfunktion möglich sein ,oder??
--> 1/(x+1)*e^(x+1)
bzw:
e^(x+1)/(x+1)
nur wenn es so wäre,müsste an ja irgendnwie das x+1 im zähler als auch im nenner wegkürzen,um dann auf e^x zu kommen. liege ich mit dieser herleitung auf dem falschen dampfer?
lg:)
[ Nachricht wurde editiert von hellsy am 01.04.2010 01:02:50 ]
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ElMachete
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Dabei seit: 08.12.2009
Mitteilungen: 727
| Beitrag No.1, eingetragen 2010-04-01
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Du setzt für x^n e^x ein - das kann zwangsläufig nicht funktionieren. Das sind zwei Paar Schuhe...
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hellsy
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2010-04-01
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dann sage mir doch bitte einer wie es richtig gemacht wird.
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chryso
Senior
Dabei seit: 07.02.2009
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Wohnort: Österreich
 | Beitrag No.3, eingetragen 2010-04-01
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Einmal hast du x in der Basis, das andere Mal im Exponenten.
Dass hier Häuser dazwischen liegen, solltest du sehen.
LG chryso
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]
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hellsy
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Dabei seit: 03.03.2010
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2010-04-01
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hallo?!ich hab keine mathestudium oder ähnliches absolviert,wo mir solche fehler direkt ins auge springen "müssen". x kann ja auch für eine beliebige zahl stehen.
das ich eventuell fehler gemacht habe,habe ich ja auch nicht ausgeschlossen.und wenn ich den fehler hätte sehen"müssen" ,dann hätte ich wohl nach adam riese, die aufgabe auch richtig lösen"müssen",richtig??soviel zum thema logik.
[ Nachricht wurde editiert von hellsy am 01.04.2010 01:30:56 ]
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fru
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Dabei seit: 03.01.2005
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Wohnort: Wien
 | Beitrag No.5, eingetragen 2010-04-01
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Hallo hellsy!
\quoteon(2010-04-01 01:00 - hellsy im Themenstart)
die die grundformel lautet ja: int(x^n)=1/(n+1)*x^(n+1)
\quoteoff
\
Nein, sie lautet int(x^n*,x)=1/(n+1)*x^(n+1).
\small\ Daß sie nur für n!=-1 gilt und daß dabei die Integrationskonstante fehlt, wollen wir mal beiseite lassen.
Siehst Du den entscheidenden__ Unterschied zu Deiner Version?
Wenn wir hier \(was natürlich erlaubt ist\!), die Variablen umbenennen, um e statt x und x statt n zu schreiben, dann entsteht daraus das \(völlig richtige\!) von Dir angegebene
int(e^x*,e)=1/(x+1)*e^(x+1)
Aber das meinst__ Du nicht! Denn hier wäre e \(genauso wie vorher x) eine Variable__, aber Dir geht es um die konstante__ Eulersche Zahl \ee als Basis der Potenz. Die Integration von exp(x) soll auch nicht über die Basis \ee, sondern über den Exponenten x \(der hier die variable Größe ist\!) erfolgen, daher schreibt man hier
int(exp(x)*,x)=exp(x)
Beachte die im Vergleich zur vorigen Gleichung veränderte Integrationsvariable!
Dein Fehler besteht also darin, Dir nicht klar gemacht zu haben, daß eine Potenz a^b auf zwei grundlegend voneinander verschiedene
Arten als Funktionsterm aufgefaßt werden kann:
(1) Wenn bei konstantem Exponenten b jeder Basis a die Zahl a^b zugeordnet wird, dann nennt man diese Zuordnung
pot_b: a\mapsto\ a^b
die \(zum Exponenten b gehörende) Potenzfunktion__.
(2) Wenn aber bei konstanter Basis a jedem Exponenten b die Zahl a^b zugeordnet wird, so nennt man diese Zuordnung
exp_a: b\mapsto\ a^b
die \(zur Basis a gehörende) Exponentialfunktion__.
Ableitung und Stammfunktionen werden bei diesen beiden Funktionsklassen auf ganz unterschiedliche Art ermittelt.
Einfache Beispiele sind die Quadratfunktion pot_2: x\mapsto\ x^2 für die Potenzfunktionen oder exp_\ee: x\mapsto\ \ee^x für die Exponentialfunktionen.
Liebe Grüße, Franz
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
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viertel
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Dabei seit: 04.03.2003
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 | Beitrag No.6, eingetragen 2010-04-01
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\quoteon(2010-04-01 01:29 - hellsy in Beitrag No. 4)
hallo?!ich hab keine mathestudium oder ähnliches absolviert,wo mir solche fehler direkt ins auge springen "müssen". x kann ja auch für eine beliebige zahl stehen.
das ich eventuell fehler gemacht habe,habe ich ja auch nicht ausgeschlossen.und wenn ich den fehler hätte sehen"müssen" ,dann hätte ich wohl nach adam riese, die aufgabe auch richtig lösen"müssen",richtig??soviel zum thema logik.
[ Nachricht wurde editiert von hellsy am 01.04.2010 01:30:56 ]
\quoteoff
Meine Güte, schon wieder ein Motzkopp, der eine harmlose Belehrung gleich als persönlichen Angriff auffaßt.
hellsy,
Du kannst nix dafür, wenn in der Schle solche Unterschiede nicht deutlich herausgestellt werden (was wir aber nicht wissen können). Aber dann solltest Du hier die Erklärungen akzeptieren.
Eine Potenzfunktion ist was völlig anderes als eine Exponentialfunktion. Wie gesagt, einmal steht die Variable x unten (Basis), einmal oben (Exponent). Daß man für eine Exponentialfunktion nicht die Integrationsregel für Potenzfunktionen anwenden kann/darf, sollte Dir aber einleuchten. Du kannst nicht einfach bei ex am Exponenten, also an der Variablen x rumschrauben. Das mit dem "Exponent+1" geht nur bei festem Exponenten n, aber nicht bei der Variablen x.
Gruß vom 1/4
PS @fru
Franz, warum schreibst Du die Integrale plötzlich falsch:
int(exp(x)*,x)=exp(x)
Das ist keine Multiplikation. Richtig so:
int(exp(x),x)=exp(x)
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fru
Senior
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Wohnort: Wien
| Beitrag No.7, eingetragen 2010-04-01
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Nicht plötzlich  , sondern immer schon.
So habe ich es gelernt, und ich sehe auch nichts Falsches darin.
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viertel
Senior
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| Beitrag No.8, eingetragen 2010-04-01
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Hmm, war mir bis jetzt noch nie aufgefallen 
Du bist da aber auch anscheinend der einzige — oder es ist mir bei anderen auch noch nie aufgefallen
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Danol
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Dabei seit: 08.04.2008
Mitteilungen: 192
| Beitrag No.9, eingetragen 2010-04-01
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\quoteon(2010-04-01 01:29 - hellsy in Beitrag No. 4)
hallo?!ich hab keine mathestudium oder ähnliches absolviert,wo mir solche fehler direkt ins auge springen "müssen".
\quoteoff
Der Unterschied zwischen Exponenten und Potenzen ist Stoff der 8. oder 9. Klasse, wer in der Schule bei Integralen angekommen ist 'müsste' den also eigentlich verinnerlicht haben. Wenns nicht so ist solltest Du nachschlagen (oder deinen Lehrer drauf ansprechen). So ein Kommentar ist nicht per Se ein Vorwurf, sondern lediglich der Hinweis dass Du irgendwas nicht wirklich verstanden hast ...
Dass in der Schule bei der Vermittlung der Grundlagen oft geschlampt wird, ist leider Tatsache ...
Nachdem die eigentliche Frage inzwischen geklärt wurde, möchte ich darauf hinweisen dass es dennoch eine Möglichkeit gibt, die von dir genannte Formel zu nutzen um zu sehen dass e^x seine eigene Stammfunktion ist (auch wenn diese Schlussweise normalerweise erst an der Uni auf formal sicheren Boden gestellt wird):
\
Man kann die Exponentialfunktion in eine Reihe entwickeln, eventuell habt ihr das mal gemacht, es gilt nämlich
e^x = sum(x^k/k!,k=0,\inf ); dabei ist k! = 1*2*...*(k-1)*k
Will man nun integrieren, dann kann man das so machen - wobei der 2. Schritt einer präziseren Begründung bedarf, da es sich um unendlich viele Summanden handelt und dabei eigentlich nicht 'einfach so' vertauscht werden darf:
int(e^x,x,,) = int(sum(x^k/k!,k=0,\inf ),x,,) = sum(int(x^k/k!,x,,),k=0,\inf)
int(x^k/k!,x,,) = x^(k+1)/(k+1)! nach der oben genannten Regel, also
int(e^x,x,,) = sum(int(x^k/k!,x,,),k=0,\inf) = sum(x^(k+1)/(k+1)!,k=0,\inf ) = e^x - 1, da es sich um dieselbe Reihe handelt, es wurde nur der Index verschoben, wodurch der erste Summand (= 1) wegfällt.
Die '-1' stört allerdings nicht weiter, da Stammfunktionen ohnehin nur bis auf die Integrationskonstanten bestimmt sind, insgesamt ergibt sich also die Behauptung.
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chryso
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Dabei seit: 07.02.2009
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| Beitrag No.10, eingetragen 2010-04-01
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Hallo hellsy!
Du hast in deinem Profil nicht vermerkt, welche mathematischen Voraussetzungen du mitbringst und was du derzeit machst. Da du ein Integral verwendest, nehme ich an, dass du zumindest in einer 12. Klasse bist, allerdings frage ich mich, was ihr bisher in dieser Klasse gemacht habt, denn deine Frage ist so fundamental, dass ich Bedenken für ein baldiges Abitur hätte.
Nun aber nochmals zu deiner Frage, die zwar von fru bereits beantwortet ist, aber vielleicht ist dir dennoch einiges unklar.
Die Funktionen xn und ax mit den Variablen x sind grundsätzlich verschieden, obwohl sie ähnlich ausschauen.
Betrachten wir der Einfachheit halber einmal x2 und 2x
x2 ist eine Funktion, wo jedem Wert x - sagen wir - die Fläche eines Quadrats mit der Seitenlänge x zugeordnet wird.
Also 12-> 144
13 ->169
Wenn man auf der x-Achse einen Schritt nach rechts geht, wird der dazugehörige Funktionswert zwar größer, aber dieser Größenzuwachs hält sich (prozentuell gesehen) in Grenzen.
122 -> 132 + ca. 17%
1202->1212 + ca 1,67%
12002->12012 + ca 0,167%
Anders ist es bei der Exponentialfunktion 2x
212=4096 213=8192
Jedesmal, wenn du einen Schritt nach rechts gehst, verdoppelt (bei der Basis 2) sich der Funktionswert, egal, ob von 12->13 oder von 120->121
Du hast hier jedesmal eine Steigerung von 100%
Das ist ein gigantisches (ganz unmathematisch gesagt) Wachstum.
Du kannst dir das bei 2x selbst überlegen, wie schnell das die Grenzen eines Taschenrechners 'sprengt'.
Konkret: für x2 könntest du den Funktionswert (näherungsweise) bis zu einer 50-stelligen Zahl am Taschenrechner berechnen, bei 2x nur bis zur Zahl 332.
Natürlich gibt es auch Exponentialfunktionen mit einer Basis <1, da wird der Funktionswert kleiner.
Du siehst also, diese beiden Funktionen haben zwar eine ähnliche Schreibweise, aber unterscheiden sich ganz wesentlich.
Deshalb sind auch die Ableitung und das Integral nach verschiedenen Regeln durchzuführen.
Wichtig ist hier, wo steht die Variable x, in der Basis oder im Exponenen
f(x)=x^n => f'(x) = n*x^(n-1) und int(x^n,x)= x^(n+1)/(n+1) +c array( ) für n!=-1
h(x) = a^x | a !=1 positiv => h'(x) = a^x*ln(a) array( ) int(a^x,x)= a^x /ln(a)+c
Im Speziellen:
p(x)= e^x |p'(x) = e^x array( ) int(e^x,x)= e^x + c
LG chryso
[ Nachricht wurde editiert von chryso am 01.04.2010 13:33:11 ]
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hellsy
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 03.03.2010
Mitteilungen: 101
Wohnort: Köln
| Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2010-04-01
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erstmal ein großes Dankeschön an alle die sich an diesen thread beteiligt haben.und ein großes Lob an diese Seite.ich war gestern Abend ein wenig enttäuscht von der Erklärung,deswegen vielleicht die etwas patzige art von mir,dafür entschuldige ich mich natürlich erstmal.vielleicht war ich auch zu sehr von den vorherigen threads verwöhnt ,in denn ich immer sehr tatkräftige undwirkliche tolle hilfestellungen erhalten habe.
wir werden es wohl mal besprochen haben aber da ich selber Nachhilfe gebe und ich meinem Nachhilfeschüler auf plausible Art und weise erklären wollte,wie sich das aufleiten durch einsetzen in eine Grundfunktion zusammensetzte,bin leider selber an eine wissengrenze bei mir gestoßen.leider schleichen sich immer mal wieder mal Lücken ein bzw man vergisst auch schnell mal was,wenn man sich in Eiltempo von thema zu Thema hangelt.ich glaube dennoch,dass ich bis zum Abitur alle Lücken schließen werden und ein erfolgreiches Abitur absolvieren werde.erst recht wenn man an mir zweifelt;)
aber ich muss zugeben,wenn ich das so lese war es schon etwas fahrlässig das Exponenten x mit dem Basis x gleichzusetzen.wie es schon chryso sagte.der exponentiell wachstum ist viel immenser wie der Wachstum ein Funktion mit der Basis x.es hatte schon förmlich nach logarithmieren gerochen aber das war auch eher so ein Bauchgefühl.
@fru:
ich habe wohl das dx vergessen.habs aber glaube ich ausversehen im formeleditor gelöscht.
@danol:
das Summenzeichen sum(k,k=1,n)war mir irgendwie schon immer ein rätsel aber wahrscheinlich weil es bei uns im Lehrplan nicht so vorgesehen ist. aber dennoch läuft es einem desöfteren gerade in Bezug auf Integration immer mal wieder in einigen Lehrbüchern über den weg.nur leider kann ich noch nicht so viel damit anfangen:(
ach ja,zu meine Person:
ich hole gerade mein abitur per abendgymansium nach(13.klasse),was eventuell auch die ein oder andere lücke erklären würde.denn neben 8 stunden arbeiten kommt noch ein 5 schul stündiger Aufenthalt abends hinzu.das erschwert leider ein wenig die Vertiefung einiger Themen.dieser weg wird dennoch mit 2 wartesemestern belohnt.nur leider zieht es auch ein wenig den schnitt runter,eben weil du nicht tagtäglich so viel fü die schule büffeln kannst.aber ich wollte danch auf jeden Fall was naturwissenschaftliches studieren.entweder Maschinenbau,Physik oder mathe/physik auf Lehramt.ma wirds sehen wohin mich die wege führen werden.ich weiß auch das es noch ein harter und steiniger Weg wird und garantiert auch noch die ein oder andere Lücke für geschlossen werden muss.aber ich habe den Kampf aufgenommen und bin der festen Überzeugung das ich als Sieger hervorgehe werde;)
also bitte weiterhin so tolle und kompetenten antworten für so unwissende Mathematikanfänger wie mich..;)
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Danol
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 08.04.2008
Mitteilungen: 192
| Beitrag No.12, eingetragen 2010-04-04
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Moin,
'tschuldigung, den Thread hatte ich irgendwie vergessen, darum jetzt etwas 'verspätet'.
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Das Summenzeichen muss kein Rätsel bleiben ;)
Es kommt oft vor, dass man lange Summen hat, in denen die Summanden allerdings einem bestimmten 'Bildungsgesetz' genügen. Beispielsweise ist 1/2+1/3+1/4+1/5+1/6 eine Summe, in der die Summanden der Regel "der k-te Summand ist gleich 1/k für 1<=k<=6" genügen. Da solche Summen mitunter recht lang werden können, ist es hilfreich, hier eine Kurzschreibweise einzufüren. Schreibt man z.B. sum(1/k,k=1,6), dann meint man damit "Summiere für 1<=k<=6 die Zahlen 1/k ". Man fängt mit dem kleinsten k an, also k=1, und setzt dann alle ganzen Zahlen zwischen dem kleinsten und größten Wert von k ein, also sum(1/k,k=1,6) = 1/1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6. Schreibt man sum(1/2k,k=1,6), dann sollen alle Summanden der Form 1/2k summiert werden, also sum(1/2k,k=1,6)=1/(2*1)+1/(2*2)+1/(2*3)+1/(2*4)+1/(2*5)+1/(2*6), alle anderen Operationen im Summenzeichen verhalten sich analog. Ist die Obere Grenze \inf, dann sollen z.B. bei sum(1/k,k=1,\inf), alle Zahlen summiert werden die sich überhaupt als 1/k für ein natürliches k schreiben lassen.
Ich hoffe das war verständlich genug; kannst Du nun mit meiner Herleitung oben etwas anfangen?
[ Nachricht wurde editiert von Danol am 04.04.2010 23:43:23 ]
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