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 Konstante Funktion |
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Newone
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 15.11.2008
Mitteilungen: 78
 |  Themenstart: 2010-04-07
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Und nochmals Hallo,
hier noch ein Beispiel, bzw. eine Frage aus dem Didaktik Übungsbetrieb, mit der Bitte um Diskussion, was hier eine angemessene Antwort oder Beweis wäre:
\
Sei f: \IR -> \IR eine differenzierbare Funktion, bei der für alle x \el \IR gilt: f'(x)=0. Beschreiben Sie, wie der Beweis für die Aussage geführt wird, dass f dann eine konstante Funktion ist.
Meine Idee (damals geschrieben) war recht langatmig, und bezog sich auf das argumentieren mit Tangenten an einen Punkt der Funktion. Diese sind alle parallel zur x-Achse und man käme daher auch auf noch ganz kleinen Wegstücken nie auf einen anderen Funktionswert.
Das war jetzt nur die Kurzfassund, fand der/die Korrektor/in nämlich scheinbar nicht so gelungen.
Mein neuer Ansatz wäre der Mittelwertsatz:
Hier stolper ich aber schon wieder in Mathematische Brisanz, weil dann ja zwei Punkte "gewählt" werden, als "Grenzen" wobei aber a ungleich b sein sollte. Das hab ich ja bei ner konstanten Funktion nicht.
Ist halt erneut so ne Frage, bei der man sich irgendwie denkt: ja klar, aber dann wirklich drauf zu antworten ist nicht unbedingt einfach.
Gruß und Danke
Newone
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Gockel
Senior 
Dabei seit: 22.12.2003
Mitteilungen: 25548
Wohnort: Jena
 | Beitrag No.1, eingetragen 2010-04-07
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Hi.
Dass eine Funktion konstant ist, heißt nichts anderes als dass \forall\ a,b\in\IR: f(a)=f(b) ist. Da kommen deine beiden Intervallgrenzen her. So einfach ist das.
mfg Gockel.
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Newone
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 15.11.2008
Mitteilungen: 78
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2010-04-07
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Hi,
puh ich glaub krasser Denkfehler.
Dann kann ich doch einfach per Mittelwertsatz sagen:
\
0=f'(x)=(f(b)-f(a))/(b-a)
für beliebige a,b und obdA a < b, denn dann folgt daraus
\
f(b)=f(a)
also konstant?
gruß
Newone
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Gockel
Senior
Dabei seit: 22.12.2003
Mitteilungen: 25548
Wohnort: Jena
| Beitrag No.3, eingetragen 2010-04-07
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goeba
Senior
Dabei seit: 24.03.2006
Mitteilungen: 1364
Wohnort: Göttingen
| Beitrag No.4, eingetragen 2010-04-07
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Hallo,
ich muss jetzt mal nachfragen: Zu welcher Vorlesung ist das die Übung? Was hat das mit Didaktik zu tun? Evtl. falsches Forum?
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Newone
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 15.11.2008
Mitteilungen: 78
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2010-04-08
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Hallo,
die beiden von mir eröffneten Posts "Eulersche Zahl e" und dieses hier sind Fragen aus einer Vorlesung Didaktik für das Lehramt an Gymnasien. Das die Frage hier auch in Analysis passen könnte ist klar. Einen richtig didaktischen bezug sehe ich auch nicht. Da sie aber aus der VL s.o. stammt hab ich sie mal hierhin gesetzt.
(Und da der "Zahl e" post aus der Analysis hierhin verschoben wurde ;-) )
Gruß
Newone
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| | Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen. |
Buri
Senior 
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 46701
Wohnort: Dresden
 | Beitrag No.6, eingetragen 2010-04-11
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Hi Newone,
der Beweis mit Mitteln der Schulmathematik ist möglich, und sogar ohne die Verwendung des Mittelwertsatzes.
Ich beweise eine Verschärfung der Aussage, nämlich:
Wenn f differenzierbar ist und f'(x) ≥ 0, dann ist f monoton wachsend.
Die vorliegende Behauptung ist eine Folgerung daraus, denn eine Funktion f, die sowohl monoton wachsend als auch monoton fallend ist (das heißt, - f ist monoton wachsend), ist konstant.
Ich nehme zwei beliebige Zahlen a=0 die Annahme f(a)>f(b) widerlegen.
Dazu konstruiere ich eine Intervallschachtelung [a_n\,b_n], beginnend mit dem Intervall [a_0\,b_0]=[a,b].
Den Anstieg der Sekante bezeichne ich mit m=(f(b)-f(a))/(b-a)<0.
Für n=0,1,2,... berechne ich c_n=(a_n+b_n)/2\..
Es gilt mindestens eine der Ungleichungen (f(c_n)-f(a_n))/(c_n-a_n)<=(f(b_n)-f(a_n))/(b_n-a_n) und (f(b_n)-f(c_n))/(b_n-c_n)<=(f(b_n)-f(a_n))/(b_n-a_n)\., dies kann man leicht mit einem Widerspruchsbeweis zeigen.
Ich setze nun (a_(n+1);b_(n+1))=(a_n;c_n) bzw. =(c_n;b_n), je nachdem, ob die erste Ungleichung gilt oder nicht.
Mit vollständiger Induktion kann man (f(b_n)-f(a_n))/(b_n-a_n)<=m beweisen, sowohl der Induktionsanfang als auch der Induktionsschritt sind trivial.
Die Folge ((a_n)) ist wachsend: a_0<=a_1<=a_2<=..., und die Folge ((b_n)) ist fallend: b_0>=b_1>=b_2>=..., und wegen b_n-a_n=(b-a)/2^n->0 haben sie denselben Grenzwert a=lim(n->\inf,a_n)=lim(n->\inf,b_n).
Für die Ableitung von f im Punkt a gilt nach Voraussetzung f\'(a)>=0>m, also gibt es nach Definition der Ableitung ein Intervall [u,v] mit um für u<=xm für am, und das gilt sogar auch dann noch, wenn u<=x<=a<=y<=v und xa und b_n->a gibt es ein n, so daß das Intervall [a_n\,b_n] ein Teilintervall von [u,v] ist, es gilt also u<=a_n<=a<=b_n<=v.
Für x=a_n und y=b_n folgt daraus (f(b_n)-f(a_n))/(b_n-a_n)>m, aber andererseits habe ich (f(b_n)-f(a_n))/(b_n-a_n)<=m bewiesen, das ist ein Widerspruch.
Aus der blauen Aussage kann man ohne weiteres den Schrankensatz herleiten:
Wenn m<=f\'(x)<=M für alle x, dann gilt auch m<=(f(b)-f(a))/(b-a)<=M.
Die stärkere Aussage, den Mittelwertsatz, bekommt man auf diese Weise nicht, dazu muß man den üblichen Standardbeweis mit Hilfe des Satzes von Rolle durchführen. Es ist aber seit langer Zeit bekannt, daß für alle praktischen Anwendungen der Schrankensatz ein nahezu vollwertiger Ersatz für den Mittelwertsatz ist, und daß insofern der Mittelwertsatz niemals wirklich gebraucht wird.
Gruß Buri
[ Nachricht wurde editiert von fed am 11.04.2010 14:39:38 ]
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