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 Sturm-Liouville |
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Dark
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 28.10.2003
Mitteilungen: 103
 |  Themenstart: 2003-11-28
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Hi, da bin ich wieder.
Ich hab hier eine Aufgabe wo ich den Anfang nicht finde
für p,q\el IC^2(IR) mit p>0 ist DGL. nach Gestalt
-px''-p'*x'+qx=0 (Sturm-Liouville DGL.)
es sei {\f2_1 ,\f2_2 } ein Fundamentalsystem und W(t)
die zugehörige Wronski-Determinante. Zeigen sie, dass die Fkt. p(t)W(t) konstant ist
So ich weis wie man mit der Wronski_d. umgeht, aber ich finde den Anfang nicht zu dieser Aufgabe, wäre toll, wenn jemand einen Tipp hätte.
mfg Dark
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LutzL
Senior 
Dabei seit: 06.03.2002
Mitteilungen: 10094
Wohnort: Berlin-Mahlsdorf
 | Beitrag No.1, eingetragen 2003-12-01
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Hi,
ueblicherweise zeigt man in diesem Zusammenhang, dass etwas konstant ist, indem man zeigt, dass die Ableitung konstant Null ist. Hier kann in die Ableitung die Differentialgleichung eingesetzt werden, und das Ergebnis sollte herauspurzeln.
Ciao Lutz
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Dark
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 28.10.2003
Mitteilungen: 103
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2003-12-01
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Hallo, die Antwort versteh ich noch nicht so ganz, also ich hab hier ja eine homog. DGL. 1. Ordnung und da muss ich jetzt erst mal die Lösungen rausbekommen, oder? Und dann muss ich doch mit der Wronski.Determinante prüfen, ob die Lösungen linear unabhängig sind,
oder? Und dann habe ich noch in einem Buch folgendes gefunden:
y^n +a_(n-1)(x)y^(n-1)+...+a_1(x)y'+a_0(x)y=0 und
wenn y_1 ,...,y_n auf I Lsg. der homog. DGL sind, dann sind folgende Aussagen äquvalent
1)y_1 ,...,y_n sind auf I linear unab., d.h. sie bilden auf I
ein Fundamentalsystem der DGL:
(bei mir also (\f2_1, \f2_2), das bedeutet doch meine x sind linear unabhängig)
2)es ist W(x)!=0 für ein und damit für jedes x\el I
die Wronski-Det. W(x) genügt der DGL.(Liouville-Formel)
W'(x)=-a_(n-1) *W(x), sodass
W(x)=W(x_0)*exp (int(-a_(n-1)(t),t,x_0, x)) ist für ein x_0\el I
und dass versteh ich schon nicht mehr so richtig, hat es überhaupt was mit meiner Aufgabe zu tun, doch oder?
sanfte Grüße Dark
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LutzL
Senior
Dabei seit: 06.03.2002
Mitteilungen: 10094
Wohnort: Berlin-Mahlsdorf
| Beitrag No.3, eingetragen 2003-12-02
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Hi,
Du solltest erstmal die prinzipielle Loesbarkeit nach Picard-Lindeloeff pruefen. Dann baust Du ein Fundamentalsystem aus den Loesungen mit Anfangswerten
(\f2_1,\f2_2;\f2_1^',\f2_2^')(0)=(1,0;0,1).
Gleichzeitig ist die Wronski-Determinante gerade die Determinante obiger Matrix fuer beliebiges t
W(t)=\f2_1(t)*\f2_2^'(t)-\f2_2(t)*\f2_1^'(t)
mit Ableitung
W^'(t)=\f2_1(t)*\f2_2^''(t)-\f2_2(t)*\f2_1^''(t).
Nun noch die Ableitung des Produkts und einsetzen und Kuerzen
(p(t)*W(t))^'=p^'(t)*W(t)+p(t)*W^'(t)=...
Ciao Lutz
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| Dark hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen. |
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