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Moderiert von Fabi Dune ligning
Lineare Algebra » Vektorräume » Minimal gewähltes Erzeugendensystem
Autor
Kein bestimmter Bereich J Minimal gewähltes Erzeugendensystem
Anonymous
Unregistrierter Benutzer
  Themenstart: 2001-11-25

Hallo! Ich habe bei folgender Aufgabe ein Problem: Sei V ¹ {0} ein endlich dimensionaler K-Vektorraum und G={w1,...,wr} ein Erzeugendensystem von V. Zeige: Ein minimal gewähltes Erzeugendensystem B Ì G ist eine Basis von V. Hoffentlich kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen.

 
matroid
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.03.2001
Mitteilungen: 14626
Wohnort: Solingen
  Beitrag No.1, eingetragen 2001-11-25

Hallo, wenn { w1, ..., wr } ein Erzeugendensystem ist, dann läßt sich jedes x aus V als Linearkombination der wi darstellen. Wenn { w1, ..., wr } ein minimales Erzeugendensystem ist, und man läßt davon einen Vektor weg, dann kann mit den verbleibenden r-1 Vektoren nicht mehr jedes veV dargestellt werden. Nun mußt du zeigen, daß die w1, ..., wr linear unabhängig sind. Wenn sie es nicht wären, dann gibt es eine nicht triviale Linearkombination der wi, die den Nullvektor ergibt:   x1 * w1 + x2 * w2 + ... + xr * wr = 0 Die xi sind nicht alle gleich 0. Sei o.B.d.A x1 nicht 0. Dann ist   w1 = -x2/x1 * w2 - ... - xr/x1 * wr Das heißt aber, daß w1 bereits durch w2, ..., wr dargestellt werden kann. Dann ist aber auch { w2, ..., wr } schon ein Erzeugendensystem. Und das ist ein Widerspruch dazu, daß es sich bei { w1, ..., wr } um ein minimales Erzeugendensystem handelt. Gruß Matroid

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