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Moderiert von Fabi Dune ligning
Lineare Algebra » Vektorräume » Vektorräume
Autor
Kein bestimmter Bereich J Vektorräume
Anonymous
Unregistrierter Benutzer
  Themenstart: 2001-11-25

Hallo Matroid! Kannst Du mir bei folgender Aufgabe helfen? Jeder C-Vektorraum V kann als |R-Vektorraum aufgefaßt werden. Beweisen Sie dim|R(V)=2*dimC(V). MfG

 
Barbara
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 21.11.2001
Mitteilungen: 11
  Beitrag No.1, eingetragen 2001-11-26

Hallo, Du! Sei (v1, ..., vn) eine Basis des C-Vektorraums V. D.h., jeder Vektor aus V ist eindeutig als Linearkombination von (v1, ..., vn) darstellen: v=(a1+i*b1)v1 + ...+(an+i*bn)vn, a1, ..., an, b1, ..., bn Î R. Deshalb können wir V als R-Vektorraum auffassen, wobei die Vektoren  v1, i*v1, v2, i*v2, ..., vn, i*vn ein Erzeugendensystem sind. Diese Vektoren sind aber R-linear unabhängig, da v1, ..., vn C-linear unabhängig sind nach Voraussetzung. Also bilden sie eine Basis des R-Vektorraums V und dim R(V) = 2*n =2*dimC(V). Damit ist alles gezeigt. Viele Grüße, Barbara 

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matroid
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.03.2001
Mitteilungen: 14626
Wohnort: Solingen
  Beitrag No.2, eingetragen 2001-11-26

Wenn V ein C-Vektorraum ist, dann hat er eine Basis v1, ..., vn (also n-dimensional). Die vi sind Vektoren aus Cn. Es ist jedes veV als Linearkombination der vi darstellbar: v = z1*v1 + ... + zn*vn. Die Koeffizienten zk stammen dabei aus C. Nun kann man die zk "aufspalten" in Real- und Imaginärteil, also zi = xi + yii. [i die imaginäre Einheit]. Und man definiert (weil man das so möchte) einen R-Vektorraum W durch das Erzeugendensystem E := { vk | 1<=k<=n } È { i*vk | 1<=k<=n } Soweit alles klar. Nun ist zu zeigen, daß  dim(W) = 2 * dim(V). Klar ist, daß dim(W) <= 2*dim(V), denn das Erzeugendensystem für W hat 2n Vektoren. Zeige nun, daß E bereits eine Basis ist. Angenommen es ist keine Basis, dann ist ein Vektor daraus (o.B.d.A v1) als nicht triviale Linearkombination der andern darstellbar. Das ist also  v1 = c2*v2 + ... + cn*vn + cn+1*i*v1 + cn+2*i*v2 + ... + cn*i*vn. nun überlegt man sich, was das bedeutet, nämlich, daß daraus folgen würde, daß die vk nicht linear unabhängig sind. Das ist ein Widerspruch. Gruß Matroid

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