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  Integral 1/(1 - x²)² |
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Abel
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 05.11.2005
Mitteilungen: 117
 |  Themenstart: 2010-08-11
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Das bennante Integral möchte ich lösen. Allerdings möchte ich das Integral in einfache Integrale zerlegen und dann substituieren.
Ich habe mir folgendes überlegt:
1/(
(1 - x^2)/(1-x^2)^2 = 1/(1-x^2)^2 - x^2/(1-x^2)^2
1/(1-x^2)^2=1/(1-x^2)-x^2/(1-x^2)^2
x^2/(1-x^2)^2 macht mir noch viel Kopfzerbrechen.
Bei der Substitution passieren mir leider immer zu viele Fehler, deswegen möchte ich es anderes lösen.
[ Nachricht wurde editiert von Abel am 11.08.2010 12:44:11 ]
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Ex_Mitglied_28361
| Beitrag No.1, eingetragen 2010-08-11
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Hi,
ich sehe jetzt nicht so ganz, was deine Rechnung mit 1/(1-x^2)^2 zu tun hat. Das ist einer simplen Partialbruchzerlegung zugänglich.
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Abel
Ehemals Aktiv
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2010-08-11
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Könnstest Du mir bitte den Ansatz zeigen? Mit PTB stehe sich wirklich auf dem Kriegsfuß.
[ Nachricht wurde editiert von Abel am 11.08.2010 13:48:10 ]
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Ex_Mitglied_28361
| Beitrag No.3, eingetragen 2010-08-11
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\quoteon(2010-08-11 13:47 - Abel in Beitrag No. 2)
Könnstest Du mir bitte den Ansatz zeigen? Mit PTB stehe sich wirklich auf dem Kriegsfuß.
\quoteoff
Was kann die physikalisch-technische Bundesanstalt dafür ?
Man kann mit Partialbruchzerlegung schlecht auf dem Kriegsfuß stehen, da schmeißt man einfach die Maschine an und ist fertig. In deiner Mitschrift oder eben im Link steht ja eine genaue Vorschrift, was zu tun ist.
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lolla_run
Junior
Dabei seit: 04.08.2010
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 | Beitrag No.4, eingetragen 2010-08-11
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Hi,
also ich habe das Integral gelöst, allerdings ohne Zerlegung und Substitution(ich habe partielle Integration benutzt). In der Lösung taucht arctanh(x) auf. Interessiert dich die Lösung? oder du möchtest nur eine Lösung mit Substitution haben?
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lolla_run
Junior 
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| Beitrag No.5, eingetragen 2010-08-11
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Ich poste meine Lösung, es schadet nicht:
man weisst, dass: arctanh(x)=int(1/(1-x^2),x)
Man kann dan so vorgehen:
arctanh(x)=int(1*1/(1-x^2),x)=x*1/(1-x^2)-int(2x*x/(1-x^2)^2,x)
=x/(1-x^2)-int((2x^2/(1-x^2)-2/(1-x^2)^2),x)-int(2/(1-x^2)^2,x)
=x/(1-x^2)+int(2(1-x^2)/(1-x^2)^2,x,)-2*int(1/(1-x^2)^2,x)
=x/(1-x^2)+2*int(1/(1-x^2),x)-2*int(1/(1-x^2)^2,x)=x/(1-x^2)+2arctanh(x)-2*int(1/(1-x^2)^2,x)
=>2*int(1/(1-x^2)^2,x)=x/(1-x^2)+2arctanh(x)-arctanh(x)
int(1/(1-x^2)^2,x)=(1/2)*(x/(1-x^2)+arctanh(x))
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Orangenschale
Senior
Dabei seit: 31.05.2007
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 | Beitrag No.6, eingetragen 2010-08-11
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\
@lolla: Zwei Anmerkungen hab ich dazu. Zum einen heißt es artanh (nicht arctanh). Zweitens verwendest du einen schönen Trick, der aber im Wesentlichen nicht viel kürzer ist der (allgemeingültige) Weg über PBZ des Integranden. Dein Weg funktioniert nur in diesem speziellen Fall. Aber der Fragesteller muss letztendich entscheiden, welchen Weg er wählt.
@Lolla: Der Ansatz für die PBZ wäre übrigens
1/(x^2-1)^2 = A/(x-1) + B/(x-1)^2 + C/(x+1) + D/(x+1)^2
Das sollte auch in deinem Skript stehen.
Viele Grüße
OS
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werner
Senior 
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| Beitrag No.7, eingetragen 2010-08-11
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mathematica verwendet auch " ArcTanh[x]" 
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jester33
Aktiv 
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| Beitrag No.8, eingetragen 2010-08-11
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@Werner: Das machen die meisten Programme. Und ich glaube in Amerika ist das auch nicht so unüblich.
Aber artanh heißt ja Areatangens Hyperbolicus. Und dort sehe ich nirgendwo ein c.
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Orangenschale
Senior
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| Beitrag No.9, eingetragen 2010-08-11
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@Werner: Du hast natürlich Recht, aber es wird an der Uni so gelehrt und wir lassen uns doch von Computern (noch) nichts vorschreiben.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.7 begonnen.]
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werner
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| Beitrag No.10, eingetragen 2010-08-11
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\quoteon(2010-08-11 17:01 - Orangenschale in Beitrag No. 9)
@Werner: Du hast natürlich Recht, aber es wird an der Uni so gelehrt und wir lassen uns doch von Computern (noch) nichts vorschreiben.
hoffentlich noch lange nicht,
es genügt, wenn man verheiratet ist 
@jester33: es ist mir bekannt, dass es area heißt und nicht arcea 
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.7 begonnen.]
\quoteoff
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Dr_Sonnhard_Graubner
Senior
Dabei seit: 06.08.2003
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 | Beitrag No.11, eingetragen 2010-08-11
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Hallo, ich hätte gleich
(1-x^2)/(1-x^2)^2=1/(1-x^2) für 1<>abs(x) geschrieben.
Viele Grüße,Sonnhard.
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lolla_run
Junior
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| Beitrag No.12, eingetragen 2010-08-11
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\quoteon(2010-08-11 16:37 - Orangenschale in Beitrag No. 6)
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@lolla: Zwei Anmerkungen hab ich dazu. Zum einen heißt es artanh (nicht arctanh). Zweitens verwendest du einen schönen Trick, der aber im Wesentlichen nicht viel kürzer ist der (allgemeingültige) Weg über PBZ des Integranden. Dein Weg funktioniert nur in diesem speziellen Fall. Aber der Fragesteller muss letztendich entscheiden, welchen Weg er wählt.
@Lolla: Der Ansatz für die PBZ wäre übrigens
1/(x^2-1)^2 = A/(x-1) + B/(x-1)^2 + C/(x+1) + D/(x+1)^2
Das sollte auch in deinem Skript stehen.
\quoteoff
ok...ich halte den Fragesteller nicht ab, seinen Weg zu gehen :). Wenn ich eine Frage stelle, freue ich mich meistens auf allen möglichen Vorschlägen. Manchmal ist eine Lösung besser als keine. So habe ich auch in diesem Fall gedacht(offensichtlich falsch)
Ich habe keinen Skript diesmal benutzt, das steht aber bestimmt in irgendeinem von meinen Skripten :).
Danke für die Anmerkungen.
Das nächste Mal werde ich mich davon abhalten, irrelevante Lösungen zu posten :). Ich bin auch neu hier, ich kenne mich nicht so gut aus.
Liebe Grüße
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Orangenschale
Senior
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| Beitrag No.13, eingetragen 2010-08-12
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Ich muss mich bei dir entschuldigen lolla, das zweite @lolla in meinem Beitrag No.6 sollte eigentlich ein @Abel sein und war als Antwort auf seine Frage nach dem Ansatz der PBZ gedacht. Natürlich ist deine Lösung nicht irrelevant, sondern man lernt sogar noch dazu.
Viele Grüße
OS
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Abel
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 05.11.2005
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| Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2010-08-14
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Die PBZ in diesen Fall ist wohl eine ehlende lange Quälerei? Der Koeffizientenvergleich bei der PBZ ist sehr fehlerintensiv und langatmig? Kann das sein?
Für gute Ratschläge bin ich immer sehr dankbar. Neben meinem Arbeitsalltag fällt es mir nicht immer sehr leicht, mich in die Denkweise der LinAlg einzuarbeiten.
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Dr_Sonnhard_Graubner
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| Beitrag No.15, eingetragen 2010-08-14
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Hallo, ich würde sagen, die Übung macht es.
Viele Grüße,Sonnhard.
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SchuBi
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 |  Beitrag No.16, eingetragen 2010-08-14
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Hallo, Abel!
\quoteon(2010-08-14 11:00 - Abel in Beitrag No. 14)
Die PBZ in diesen Fall ist wohl eine ehlende lange Quälerei? Der Koeffizientenvergleich bei der PBZ ist sehr fehlerintensiv und langatmig? Kann das sein?
\quoteoff
Auch bei der PartialBruchZerlegung gibt es Tricks. Ein einfacheres Lösungsverfahren ist die Zuhaltemethode, speziell bei einfachen Nennernullstellen. Ein weiteres Verfahren hat continuous in Rechenverfahren und Beweistricks erläutert.
[ Nachricht wurde editiert von SchuBi am 14.08.2010 18:03:20 ]
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Abel
Ehemals Aktiv
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| Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2010-08-16
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\quoteon(2010-08-11 16:12 - lolla_run in Beitrag No. 5)
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Ich poste meine Lösung, es schadet nicht:
man weisst, dass: arctanh(x)=int(1/(1-x^2),x)
Man kann dan so vorgehen:
arctanh(x)=int(1*1/(1-x^2),x)=x*1/(1-x^2)-int(2x*x/(1-x^2)^2,x)
\blue\ Hier hast Du partiell integriert. Ich verstehe, das Minuszeichen vor dem zweiten Summanden nicht, da bei der Ableitung von 1/(1-x^2) : -2x/(1-x^2)^2 entsteht. Wo ist mein Denkfehler?\blue\
=x/(1-x^2)-int((2x^2/(1-x^2)-2/(1-x^2)^2),x)-int(2/(1-x^2)^2,x)
=x/(1-x^2)+int(2(1-x^2)/(1-x^2)^2,x,)-2*int(1/(1-x^2)^2,x)
=x/(1-x^2)+2*int(1/(1-x^2),x)-2*int(1/(1-x^2)^2,x)=x/(1-x^2)+2arctanh(x)-2*int(1/(1-x^2)^2,x)
=>2*int(1/(1-x^2)^2,x)=x/(1-x^2)+2arctanh(x)-arctanh(x)
int(1/(1-x^2)^2,x)=(1/2)*(x/(1-x^2)+arctanh(x))
\quoteoff
[ Nachricht wurde editiert von Abel am 17.08.2010 16:59:12 ]
[ Nachricht wurde editiert von Abel am 18.08.2010 12:19:20 ]
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Dr_Sonnhard_Graubner
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| Beitrag No.18, eingetragen 2010-08-16
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Hallo, kleiner Hinweis:
Es heißt artanh(x).
Viele Grüße,Sonnhard.
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lolla_run
Junior
Dabei seit: 04.08.2010
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| Beitrag No.19, eingetragen 2010-08-20
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\
Hallo Abel,
von der partiellen Integration hat man 1 Mal Minus: int(f(x)g'(x),x)=f(x)g(x)-int(f'(x)g(x),x) und dann die Ableitung von 1/(1-x^2)=(1-x^2)^(-1) ist: (-1)*(1-x^2)^(-2)*(-2) also mit "+"
oder? :)
Wie kriegst du sonst die Potenz "2" unten im Nenner.
Sorry, dass ich erst jetzt deine Frage sehe, ich war im Urlaub.
Grüße,
lolla
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