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 Ableitung eines Integrals |
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John-Doe
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 03.11.2007
Mitteilungen: 4119
 |  Themenstart: 2010-09-29
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Hi!
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Wie berechnet man beispielsweise:
d/dx * int(f(t),t) mit t:=t(x).
lg Johnny
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Ex_Mitglied_28361
| Beitrag No.1, eingetragen 2010-09-29
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Hi,
was verstehst du darunter, nach einer Funktion zu integrieren ? Meinst du Stieltjes-Integrale?
Falls nein hatten wir gestern so etwas, siehe hier, falls ja: keine Ahnung.
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John-Doe
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 03.11.2007
Mitteilungen: 4119
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2010-09-29
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\
Ich hole nun etwas weiter aus. Es geht um Integration durch Substitution. Es gilt ja mit x:=\phi(t):
int(f(\phi(t))*\phi\.'(t),t)=int(f(x),x).
Beweis:
d/dt int(f(\phi(t))*\phi\.'(t),t) = f(\phi(t))*\phi\.'(t)
d/dt int(f(x),x) = f(x(t))*x'(t)=f(\phi(t))*\phi\.'(t).
Da die Funktionen gleich sind, müssen auch die Integrale übereinstimmen.
Nun versuche ich verzweifelt folgendes zu lösen:
r*int(root(r-(x/r)^2),x)
Ich möchte zuerst einmal den Bruch entfernen, weswegen ich y:=x/r setze. Das ist gleichwertig zu x(y)=y*r.
Damit müsste gelten:
r*int(root(r-(x/r)^2),x)=r*int(root(r-y^2)*r,y)
Nur stimmt das ja nicht, denn wenn ich int(root(r-(x/r)^2),x) nach y ableite, dann erhalte ich:
root(r-(x/r)^2)*(-2y)*r.
Bitte erklärt mir das :(.
lg Johnny
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werner
Senior 
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| Beitrag No.3, eingetragen 2010-09-29
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versuche den integranden auf die form sqrt(a^2-x^2) mit a=r^2 zu bringen
[ Nachricht wurde editiert von werner am 29.09.2010 18:16:38 ]
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John-Doe
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2010-09-29
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lieber werner. Es geht mir hierbei weniger um die Lösung des Integrals als viel mehr um das, was ich bei meinem Lösungsweg bis jetzt falsc hgemacht habe.
lg Johnny
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Ex_Mitglied_28361
| Beitrag No.5, eingetragen 2010-09-29
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An
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r*int(root(r-(x/r)^2),x)=r*int(root(r-y^2)*r,y)
ist doch ueberhaupt nichts falsch, es ist nur u.U. nicht zielfuehrend.
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werner
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| Beitrag No.6, eingetragen 2010-09-29
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\quoteon(2010-09-29 17:34 - John-Doe in Beitrag No. 4)
lieber werner. Es geht mir hierbei weniger um die Lösung des Integrals als viel mehr um das, was ich bei meinem Lösungsweg bis jetzt falsc hgemacht habe.
lg Johnny
\quoteoff
ich bin ja kein hellseher 
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John-Doe
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| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2010-09-29
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Eh das ist schon klar... meine Frage ist auch missverständlich gestellt. Falls das böse rüber gekommen sein sollte, tuts mir Leid.
lg Johnny
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fru
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 | Beitrag No.8, eingetragen 2010-09-29
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Hallo Johnny!
\quoteon(2010-09-29 16:09 - John-Doe in Beitrag No. 2)
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x(y)=y*r.
[...] wenn ich int(root(r-(x/r)^2),x) nach y ableite, dann erhalte ich:
root(r-(x/r)^2)*(-2y)*r.
Bitte erklärt mir das :(.
\quoteoff
Es liegt daran, daß Du falsch differenziert hast. Richtig wäre:
Die Ableitung des Integrals ist gleich dem mit der inneren Ableitung x'(y) multiplizierten Integranden:
\
x=r*y
=>
diff(int(sqrt(r-(x/r)^2)*,x),y)=sqrt(r-(x(y)/r)^2)*diff(x(y),y)=sqrt(r-y^2)*r
Liebe Grüße, Franz
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.5 begonnen.]
[Verschoben aus Forum 'Schulmathematik' in Forum 'Integralrechnung' von fru]
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John-Doe
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| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2010-09-29
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Gerade jetzt bin ich auch drauf gekommen. Leichter ersichtlich ist es, wenn man es sich in der Form F(x(y)) aufschreibt. Dann ist alles klar. Danke trotzdem.
lg Johnny
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John-Doe
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|  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2010-09-29
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\
Ich glaube, ich habs heraußen...
int(root(r^2-x^2),x)
=r*int(root(1-(x/r)^2),x)
Nun setze x/r=cos(\phi) <=> x(\phi)=r*cos(\phi) und es folgt:
r*int(root(1-(x/r)^2),x)=r*int(root(1-cos(\phi)^2)*(-r)*sin(\phi),\phi)
=-r^2*int(sin(\phi)^2,\phi)
=-r^2/2*(\phi-sin(\phi)*cos(\phi))
Ok doch noch nicht ganz. Wie bekomme ich den Sinus wieder weg?
lg Johnny
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Dixon
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 | Beitrag No.11, eingetragen 2010-09-29
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\quoteon(2010-09-29 19:43 - John-Doe in Beitrag No. 10)
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Ok doch noch nicht ganz. Wie bekomme ich den Sinus wieder weg?
\quoteoff
Mit einem Radiergummi.
Nein, das oben geschriebene ist die richtige Lösung eben jenes
Integrals... Es unterscheidet sich aber vom anfangs angegebenen.
Woher weißt Du, was herauskommen soll?
Grüße
Dixon
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John-Doe
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| Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2010-09-29
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Naja ich will eine Lösung in Abhängigkeit von x haben. Das Anfangsintegral war aufgrund meines Fehlers tatsächlich ein anderes, was aber der Problematik, die ich zu verstehen versuche nichts abtut.
lg Johnny
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Dixon
Senior
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| Beitrag No.13, eingetragen 2010-09-29
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Achso. Oben im Integral hast Du aus einem Ausdruck mit Cosinus einen
Sinus gemacht. Probiere das hier rückwärts.
Grüße
Dixon
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