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| Autor |
  Integration von √(1-x²) |
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La_Cicatriz
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 16.11.2009
Mitteilungen: 68
 |  Themenstart: 2010-11-22
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Es geht um folgende Aufgabe :
int(sqrt(1-x^2),x,0,1)
Laut Wikipedia substituiert man
x = sin(t)
t = arcsin(x) ... etc.
Wieso wird das x zu sin(t) substituiert ?
Ich hab versucht 1-x^2 durch z zu substituieren!
Und es funktioniert nicht, da ich trotz des z's noch ein x mit herumschleppe.
Kann mir jemand die Rechenwege hier vollständig geben, damit ich das nachvollziehen kann ?
Danke im Voraus!
[ Nachricht wurde editiert von La_Cicatriz am 22.11.2010 20:35:32 ]
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Ex_Mitglied_28361
| Beitrag No.1, eingetragen 2010-11-22
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Hi,
die banale Antwort lautet: weil es funktioniert 
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SchuBi
Senior
Dabei seit: 13.03.2003
Mitteilungen: 19409
Wohnort: NRW
 |  Beitrag No.2, eingetragen 2010-11-22
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Hallo, La_Cicatriz!
sin(t) wird substituiert, weil es funktioniert. Dies liegt daran, daß man den entstehenden Integranden durch den trigonometrischen Pythagoras sin2(x)+ cos2(x) = 1 erheblich vereinfachen kann.
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
[ Nachricht wurde editiert von SchuBi am 22.11.2010 20:44:20 ]
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La_Cicatriz
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 16.11.2009
Mitteilungen: 68
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2010-11-22
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Das will mir nicht so ganz einleuchten,
1 - sin ist doch doch dann cos ?
Könnt ihr mir das etwas ausführlicher geben, ich bin da schwer von Begriff :-D
Also was muss ich z.B bei anderen Aufgaben "sehen", um zu wissen, dass trigonometrischen Funktionen eine Rolle spielen ?
Bei der gegebenen Aufgabe hätte ich überhaupt nicht gedacht, dass da ein sinus-ähnliches Gebilde vorkommt!
[ Nachricht wurde editiert von La_Cicatriz am 22.11.2010 20:51:22 ]
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SchuBi
Senior
Dabei seit: 13.03.2003
Mitteilungen: 19409
Wohnort: NRW
| Beitrag No.4, eingetragen 2010-11-22
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\quoteon(2010-11-22 20:50 - La_Cicatriz in Beitrag No. 3)
Das will mir nicht so ganz einleuchten,
1 - sin ist doch doch dann cos ?
\quoteoff
Das habe ich nicht geschrieben 
Poste doch deine Rechnung, dann helfe ich dir gerne weiter 
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La_Cicatriz
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 16.11.2009
Mitteilungen: 68
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2010-11-22
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Hm ich weiß jetzt nich so recht wie sinnvoll es ist, dass ich meine Rechnung poste, wenn ich schon den ersten Ansatz nicht verstanden habe und deshalb gänzlich anders rechne aber gut, ich bin dankbar für jede Hilfe :D
int(sqrt(1-x^2),x,0,1)
Substitution :
z = 1 - x^2
dz/dx = -2x
dz = -2x dx
dx = dx/-2x
int( sqrt(z) * 1/-2x,z,0,1)
-0.5 int(sqrt(z) * x^(-1) ,z,z(0),z(1)
Und hier habe ich aufgehört, weil mir das nicht optimal erschien, dass ich trotz der Substitution z UND x habe :D
edit: Hab mich noch an ein paar anderen Aufgaben versucht und wieder das gleiche Problem, wieso verschwindet das x manchmal einfach nicht ?
Wie wäre dein Ansatz ?
[ Nachricht wurde editiert von La_Cicatriz am 22.11.2010 21:40:24 ]
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SchuBi
Senior
Dabei seit: 13.03.2003
Mitteilungen: 19409
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|  Beitrag No.6, eingetragen 2010-11-22
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Hallo, La_Cicatriz!
Wenn schon, dann solltest du die Substitution x=sin(t) nachrechnen (siehe No. 1, No. 2). Mit deiner Substitution klappt es nicht. Bedenke: Ableiten ist Handwerk, aber Integrieren ist Kunst
[ Nachricht wurde editiert von SchuBi am 22.11.2010 22:20:24 ]
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lula
Senior 
Dabei seit: 17.12.2007
Mitteilungen: 11547
Wohnort: Sankt Augustin NRW
 | Beitrag No.7, eingetragen 2010-11-22
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Hallo La_Cicatriz
Integrieren ist wirklich ne Kunst, man muss ein paar Tricks lernen oder gut hinsehen und Erfahrung haben.
bei sqrt(1-x^2) denken viele leute an nen Kreis mit x^2+y^2=1
y=sqrt(1-x^2) dann wissen sie auch dass man den Kreis gut als x=sin(t), y=cos(t) beschreiben kann. und schon ist die Idee da nenn sqrt(1-x^2) y und x=sin(t) sqrt(1-x^2)=cos(t)
so "substituiert man dann.
natürlich erfordert das den richtigen Blick auf die zu integrierende Funktion. aber wenn dich jemanden nach sqrt(169) fragt und du sofort antwortest 13, dann kannst du ihm auch nur erklären, dass du eben weisst dass 13^2=169 das zu "wissen" ist auch Erfahrung.
bis dann lula
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La_Cicatriz
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 16.11.2009
Mitteilungen: 68
| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2010-11-23
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Ernüchternd aber danke für die Antwort ! :)
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| | Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen. |
Ex_Senior
| Beitrag No.9, eingetragen 2010-11-25
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Hallo La_Cicatriz,
ist die Frage jetzt eigentlich für dich geklärt? Dann könntest du ja noch den Ok-Haken setzen.
Noch schöner wäre allerdings, wenn du für das Integral aus dem Themenstart die Lösung angeben könntest.
Gruß, Diophant
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