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| Autor |
 Randbedingungen aus Symmetrie ableiten |
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Ehemaliges_Mitglied
 |  Themenstart: 2010-11-30
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Hallo,
ich habe ein Problem bei der Ableitung der Randbedingungen bei folgender Randwertaufgabe.
Gegeben:
y''''=0
y ist symmetrisch.
Lösungsansatz:
y''''=0
y'''=c_1
y''=c_y*x+c_2
y'=1/2 c_1 x^2+c_2 x+c_3 ist antimetrisch da y symmetrisch ist
=>y'=c_2 x+c_3
y=1/6 c_1 x^3+1/2 c_2 x^2+c_3 x+c_4 ist symmetrisch
=>y=1/2 c_2 x^2+c_4
Randbedingungen:
wegen der Antimetrie von y' und y''' muss y'(0)=0 und y'''(0)=0 sein
Also sind c_3 und c_4 gleich Null wie man auch an y sieht. Mein Problem ist das ich keine Bedingungen weiß von der ich auf c_2 und c_4 schließen kann. Ich weiß nur das bei Antimetrie f(0)=0 und bei Symmetrie f(x)=f(-x) sein müsste. Hoffe ich habe mich dabei nicht schon vertan.
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Dabei seit: 14.07.2003
Mitteilungen: 406
Wohnort: Heidelberg
 |  Beitrag No.1, eingetragen 2010-11-30
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Hallo Sebi und willkommen im Forum!
Kurze Klärung der Notation:
»Symmetrie« ist nicht ganz eindeutig, man spricht besser von einer geraden Funktion, d.h.: f(x)=f(-x);
Statt »Antisymmetrie« sagt man bei Funktionen lieber ungerade: f(x)=-f(-x) - diese Bedingung sagt mehr aus als nur f(0)=0.
Dein Ansatz ist gut; weshalb meinst Du denn, auch die verbleibenden Konstanten bestimmen zu müssen?
Grüße
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2010-11-30
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Die Aufgabenstellung ist die "Lösung der folgenden symmetrischen bzw. antimetrischen Randwertaufgaben". Wobei als Lösung der ermittlung von y angesehen wird.
In der Regel haben wir Aufgaben aus der Ingenieurmathematik wo Belastungsbilder gegeben werden(w'''') und man durch die Integration auf Querkraft (w'''), Moment (w''), Verdrehung (w') und Biegung (w) schließen kann. Randbedingungen sind hierbei aus dem statischen System abzuleiten (z.B. das das Moment an bestimmten Auflagern Null sein muss etc.). Ziel ist es die Funktion w zu bestimmen. So kann man allgemeingültige Formeln bestimmten.
Beispielsweise
Gegeben:
Einfeldträger mit Gleichlast:
l=Länge
EI=Steifigkeit (konstant)
x=0 ; Y=0 am linken Auflager
=>w''''=q(x)/EI
Lösung:
...
Ergebniss:
w=1/24 q_0/EI (x^4 - 2 l x^3 + l^3 x)
Bei dieser Aufgabe hantelt es sich schlicht um eine einfache Übung. Nur ist für mich hier nicht offensichtlich welche Schlüsse ich aus dem gegebenen "y ist symmetrisch" ziehen kann. Außerdem beziehen sich meine Ansätze hier eher auf Vermutungen da meine mathematischen Grundlagen bezüglich symmetrie/antimetrie doch mittlerweile etwas eingerostet sind.
Wie gesagt, ich meine das ich die verbleibenden Konstanten auch bestimmen muss weil es Teil der Aufgabenstellung ist ;)
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Dabei seit: 14.07.2003
Mitteilungen: 406
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| Beitrag No.3, eingetragen 2010-11-30
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Das Wort »Antimetrie« ist mir gänzlich neu. Schau noch mal auf das Aufgabenblatt.
Die Konstanten lassen sich in dem von Dir angegebenen Fall nicht bestimmen.
Zu den Auswirkungen der Symmetrie:
Gerade Funktion:
f(x)=f(-x) für alle x.
Ungerade Funktion:
f(x)=-f(-x) für alle x.
Für Monome x^n gilt:
x^n genau dann gerade, falls n gerade,
x^n genau dann ungerade, falls n ungerade.
Dies überträgt sich auf Polynomfunktionen:
f(x)=c_0+c_1\.x+c_2\.x^2+...
ist genau dann gerade, wenn alle c_k mit ungeradem k Null sind;
sie ist genau dann ungerade, wenn alle c_k mit geradem k Null sind.
Dies hast Du aber schon richtig genutzt.
Gruß
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2010-11-30
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"Man löse die folgenden symmetrischen bzw. antimetrischen Randwertaufgaben:" ist der genaue Wortlaut auf dem Aufgabenzettel. Wobei mit symmetrisch Achsensymmetrisch also gerade Funktionen und mit antimetrisch wohl Punktsymmetrische also ungerade Funktionen gemeint sind.
Die restlichen Aufgaben sind auch nicht schwer zu lösen sobald man die Randbedingungen erkannt hat. Nur bei dieser komme ich einfach nicht dahinter. Ich werde dann wohl bis nächste Woche warten müssen und in der Sprechstunde Rat suchen. Ich kann auch nicht ausschließen das in der Aufgabenstellung einfach vergessen wurde weitere Angaben zu machen.
Vielen Danke für die schnelle Hilfe.
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