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  Minus mal Minus = Plus |
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vinzenta
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 25.03.2006
Mitteilungen: 71
 |  Themenstart: 2011-01-23
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Hallo Zusammen,
in den Schulbüchern finde ich keine schöne Erklärung für diese Regel. Wir haben es in der Schule als Merksatz gelernt. Das möchte ich aber ungerne so machen.
Habt ihr Ideen wie man das altersgerecht (6.Klasse) vermitteln kann?
Gruß und danke Vinz
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viertel
Senior 
Dabei seit: 04.03.2003
Mitteilungen: 27787
Wohnort: Hessen
 | Beitrag No.1, eingetragen 2011-01-23
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Hi vinzenta
Akzeptierst du die Regel, daß die Multiplikation mit -1 das Vorzeichen umkehrt? Also z.B. (-1)·5=-5 und (-1)·(-5)=5?
Ok, dann schreibe
(-5)*(-7)=((-1)*5)*(-7)
=(-1)*(5*(-7))
=(-1)*(-35)
=35
Gruß vom ¼
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Martin_Infinite
Senior
Dabei seit: 15.12.2002
Mitteilungen: 39133
Wohnort: Münster
 | Beitrag No.2, eingetragen 2011-01-23
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Ich weiß nicht, ob das altersgerecht ist, aber man kann es aus den Distributivgesetzen ableiten. Zumindest ist es dann kein Merksatz mehr, sondern ein richtiger Beweis.
1. Aus 0a = (0+0)a = 0a + 0a folgt 0a = 0.
2. Mit 1. folgt (-a)b + ab = (-a + a)b = 0b = b, also (-a)b = - ab.
3. Ähnlich folgt a(-b)=- ab.
4. Aus 2. und 3. folgt (-a)(-b) = - a(-b)= - - ab = ab.
Es gibt aber auch andere Weisen, wie man sich das veranschaulichen kann. Da bleibe ich mal bei Beispielzahlen.
Angenommen du stehst auf einer Straße und gehst 2*3 Schritte nach rechts. Das bedeutet, dass du 2 mal folgendes tust: 3 Schritte nach rechts gehen. Was bedeutet es, 2*(-3) Schritte nach rechts zu gehen? Naja du musst 2 mal (-3) Schritte nach rechts gehen, d.h. 2 mal 3 Schritte nach links gehen. Dann bist du 6 Schritte nach links gelaufen, also -6 Schritte nach rechts gelaufen. Ergebnis: 2*(-3) = -6.
Das erinnert irgendwie an den folgenden Witz:
\quoteon
Ein mit zehn Leuten besetzter Bus hält an einer Haltestelle und elf Leute steigen aus. Drei Wissenschaftler kommentieren dieses Geschehen:
Der Biologe: "Die müssen sich unterwegs vermehrt haben."
Der Physiker: "Was soll´s, zehn Prozent Messtoleranz müssen drin sein."
Der Mathematiker: "Wenn jetzt einer einsteigt ist der Bus leer.
\quoteoff
[ Nachricht wurde editiert von Martin_Infinite am 23.01.2011 10:24:32 ]
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Buri
Senior 
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 46791
Wohnort: Dresden
 | Beitrag No.3, eingetragen 2011-01-23
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\quoteon(2011-01-23 10:22 - Martin_Infinite in Beitrag No. 2)
... man kann es aus den Distributivgesetzen ableiten.
\quoteoff
Hi Martin,
auch ich hatte diese Idee, aber ich denke nicht, daß das didaktisch gut ist, man bringt die Schüler nur auf falsche Gedanken, die auf das sog. Permanenzprinzip hinauslaufen.
Das heißt, man stellt irgendwelche Gesetzmäßigkeiten in dem Zahlenbereich fest, in dem man arbeitet, und geht ohne Begründung davon aus, daß diese Regeln ihre Gültigkeit behalten, wenn man den Zahlenbereich erweitert. Das ist mathematisch und logisch und vor allem auch didaktisch eine falsche Vorgehensweise. Das Permanenzprinzip ist ausschließlich als heuristisches (= erkenntnistheoretisches) Prinzip geeignet, nicht als Beweisargument.
In Wirklichkeit ist es doch umgekehrt:
Nicht die Regel "Minus mal Minus ist Plus" wird aus den Distributivgesetzen abgeleitet, sondern man beweist die Distributivgesetze unter der Annahme, daß "Minus mal Minus = Plus" ist. Die Gesetze würden nicht mehr stimmen, wenn man "Minus mal Minus = Minus" festsetzen würde.
Man kann nicht von Gesetzen Gebrauch machen, die von einer Operation handeln, die man noch gar nicht definiert hat, weil man sie ja gerade erst definieren will.
Vor einigen Jahren hattest du diese Erkenntnis auch schon gewonnen:
\quoteon(2005-01-22 21:32 - Martin_Infinite in Beitrag No. 23)
... Solange man etwas nicht konstruieren kann, oder nur fordert, ist es für mich keine Mathematik.
\quoteoff
Außerdem hast du versäumt, auf die eigentliche Titelfrage einzugehen, man müßte nämlich die Frage stellen, was passiert, wenn man (-2)-mal (-3) Schritte nach rechts geht.
Gruß Buri
[ Nachricht wurde editiert von Buri am 23.01.2011 12:01:05 ]
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Martin_Infinite
Senior
Dabei seit: 15.12.2002
Mitteilungen: 39133
Wohnort: Münster
| Beitrag No.4, eingetragen 2011-01-23
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\quoteon(2011-01-23 11:44 - Buri in Beitrag No. 3)
Nicht die Regel "Minus mal Minus ist Plus" wird aus den Distributivgesetzen abgeleitet, sondern man beweist die Distributivgesetze unter der Annahme, daß "Minus mal Minus = Plus" ist. Die Gesetze würden nicht mehr stimmen, wenn man "Minus mal Minus = Minus" festsetzen würde.
\quoteoff
Nein. Die obige Feststellung ist, dass für jede Bilinearform auf einer abelschen Gruppe gilt, dass < - x, - y > = < x , y >. Das was du sagst, bezieht sich auf konkrete Konstruktionen der Zahlbereiche. Das hat hiermit aber meiner Meinung nach nicht unbedingt etwas zu tun.
\quoteon(2011-01-23 11:44 - Buri in Beitrag No. 3)
Man kann nicht von Gesetzen Gebrauch machen, die von einer Operation handeln, die man noch gar nicht definiert hat, weil man sie ja gerade erst definieren will.
\quoteoff
Wie gesagt, ich möchte hier nicht die Rechenoperationen definieren sondern aus gewissen Regeln andere herleiten. Ich gebe dir aber Recht, dass es vielleicht auch erst einmal eine "anschauliche Erklärung" braucht, dass das Distributivgesetz auch für negative ganze Zahlen gilt, wenn man es erst einmal nur für positive ganze Zahlen glaubt. Für mich sind "Argumente" wie "Es hat sich als nützlich erwiesen" auch nicht ausreichend ... Jedenfalls kann man das alles beweisen, egal welche der üblichen Konstruktionen von Z aus N man nimmt. In der 6. Klasse könnte ich mir aber vorstellen, dass es erst einmal wichtig ist zu lernen, dass sich alle Regeln schön ineinander fügen, ohne deren genaue Herkunft zu kennen.
\quoteon(2011-01-23 11:44 - Buri in Beitrag No. 3)
Außerdem hast du versäumt, auf die eigentliche Titelfrage einzugehen, man müßte nämlich die Frage stellen, was passiert, wenn man (-2)-mal (-3) Schritte nach rechts geht.
\quoteoff
Ich bin auf 2*(-3) eingegangen und wollte nicht gleich alles verraten. 
[ Nachricht wurde editiert von Martin_Infinite am 23.01.2011 12:18:13 ]
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owk
Senior 
Dabei seit: 10.01.2007
Mitteilungen: 6957
| Beitrag No.5, eingetragen 2011-01-23
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Wenn man weniger oft etwas wegnimmt, bleibt mehr übrig. owk
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calc
Senior
Dabei seit: 16.09.2010
Mitteilungen: 719
| Beitrag No.6, eingetragen 2011-01-23
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Hallo,
du könntest vielleicht das sprachliche Prinzip der doppelten Verneinung verwenden – beispielsweise dass "es nicht zu mögen, keine Rosinen im Kuchen zu haben" eben heißt, dass Rosinen drinnen sein sollen, oder "wieviel Guthaben vorliegt, wenn es sich bei einem genannten Betrag um keine Schulden (= negatives Guthaben) handelt", usw.
@owk: Der Merkspruch finde ich gut (für die Nachhilfe), danke ... aber das trifft doch eher auf die Subtraktion einer negativen Zahl denn auf die Multiplikation zweier negativer Zahlen zu (schon klar, der Unterschied ist nur bedingt gegeben, aber in der Unterstufe sieht man das doch oft noch nicht).
Grüße, calc
[ Nachricht wurde editiert von calc am 23.01.2011 15:55:41 ]
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goeba
Senior
Dabei seit: 24.03.2006
Mitteilungen: 1364
Wohnort: Göttingen
| Beitrag No.7, eingetragen 2011-01-23
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Hallo,
ich erkläre es so:
- -(-) ist Plus, denn wenn man z.B. Schulden wegnimmt, hat man mehr Guthaben.
(-)*(-) wäre dann wiederholtes Wegnehmen von Schulden.
(Das ist natürlich eine sehr knappe Variante, in der Schule mache ich das viel ausführlicher).
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vioxx
Wenig Aktiv
Dabei seit: 27.02.2006
Mitteilungen: 27
| Beitrag No.8, eingetragen 2011-01-23
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Hallo, guten Abend,
Voraberklären:
1. das Minus das Gegenteil von Plus ist ( a und (-a) invers zueinander bzgl. Addition)
2. das Distributivgesetz
3. 0*a=0
(-a)*b+(-a)*(-b)=(-a)*(b+(-b))
=(-a)*(0)
=0
zu 1)
(-a)*(b)+ a*b=((-a)+a))*b
=0*b
=0
mfg
vioxx
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chryso
Senior
Dabei seit: 07.02.2009
Mitteilungen: 10529
Wohnort: Österreich
 | Beitrag No.9, eingetragen 2011-01-24
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Ich habe das in meinen Klassen so erklärt:
Zuerst einmal die Addition:
Addieren ist immer "Vorwärtsgehen", Subtrahieren "Rückwärtsgehen"
positive Zahl - man schaut in Richtung der Tür (1. sind die positiven Zahlen am Zahlenstrahl rechts, 2. ist es positiv, die Klasse durch die Tür zu verlassen )
negative Zahl - man schaut in Richtung Fenster (3. negative Zahlen (kennt man schon vom Koordinatensystem) sind links der Null 4) die Klasse durchs Fenster zu verlassen ist sehr negativ (gefährlich))
Beim Addieren steht man anfangs am Zahlenstrahl auf der ersten Zahl
(+5) + (+3)
Ich stehe bei +5, schaue (wegen +3) zur Tür und gehe drei Schritte nach vorne.
(+4) + (-7)
Ich stehe bei +4, schaue (wegen -7) zum Fenster und gehe 7 Schritte vorwärts.
Subtraktionen bedeuten "rückwärtsgehen"
(+2)-(+6)
Ich stehe bei +2, schaue (wegen +6) zur Tür und gehe 6 Schritte zurück.
Bei (+2)+(-6) macht man zwar nicht dasselbe, aber man landet an derselben Stelle. Das sieht jeder ein, weil ich das vorspiele.
Und ebenso, dass (+3)-(-4) dasselbe ergibt wie (+3)+(+4).
Dieses -(-..) ist also dasselbe wie +
***********
Anfangs zeichnen sich die Schüler oft auf einen Radiergummi ein Gesicht und 'gehen' damit auf dem Heft.
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Da die Multiplikation eine "fortgesetzte" Addition ist, kann man das dann so erklären:
+3 ist soviel wie 3
(+3)*(+2) = 3*(+2)= (+2)+(+2)+(+2)
(+3)*(-2)= 3*(-2)= (-2)+(-2)+(-2)
Aber was ist (-3)*(+2) ?
Hier wird natürlich ein wenig geschwindelt, aber den Kindern ist die Kommutativität der Multiplikation in IN bekannt.
Also (-3)*(+2)=(+2)*(-3)=(-3)+(-3)=-6
Man kann aber auch sagen, du gehst bei (-3)*(+2) dreimal in die andere Richtung als bei (+3)*(+2).
Bei (-3)*(-2) gehst du dreimal in die andere Richtung als bei 3*(-2)
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Dass (-..)*(-..) + ergibt kann man auch an deutschen Sätzen erklären.
- entspricht "nicht"
Es regnet heute nicht.
Es stimmt nicht, dass es heute nicht regnet. -> Es regnet heute.
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Im Übrigen wollen die meisten Schüler das gar nicht so genau wissen. Sie wollen gar nicht VERSTEHEN, WARUM (-..)*(-..)=+ ist.
"Wir GLAUBEN Ihnen."
[ Nachricht wurde editiert von chryso am 24.01.2011 02:08:35 ]
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vinzenta
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 25.03.2006
Mitteilungen: 71
| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2011-01-25
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Hallo Zusammen,
danke für eure zahlreichen und hilfreichen Antworten. Ich denke ich werde den Ansatz von cryso verfolgen. Der trifft nämlich bis jetzt mit meinem Unterrichtsgang ganz gut überein. Besonders hilfreich finde ich die Begründung mit der Sprache.
Ich denke auch, dass viele SuS das "Warum" nicht wissen wollen, allerdings die es wissen wollen stehe sich dann manchmal bei solchen Merksätzen selbst zu sehr im Weg, weil sie es hinterfragen und ohne gute Erklärung kommen sie dann gar nicht weiter (auch nicht mit dem einfachen Merksatz).
Danke nochmal!
Gruß Vinz
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