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Analysis » Funktionentheorie » Laurentreihen
Autor
Kein bestimmter Bereich J Laurentreihen
eiced
Ehemals Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 23.12.2003
Mitteilungen: 55
  Themenstart: 2003-12-30

Ich soll f(z)=1/(z^2-z) bezüglich folgender Gebiete entwickeln: a) 0<¦z¦<1 b) 1<¦z¦ c) 1<¦z-1¦ d) 1<¦z-2¦<2 a) war ja kein Problem. Aber wie gehe ich bei b)-d) vor?

   Profil
TobiPfanner
Senior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 27.07.2003
Mitteilungen: 3622
Wohnort: Weiler
  Beitrag No.1, eingetragen 2003-12-30

f(z)=1/(z^2-z)=1/(z*(z-1))=1/(z-1)-1/z a. f(z)=-1/z-1/(1-z)=-1/z-sum(z^k,k=0,\inf)=sum((-1)*z^k,k=-1,\inf) b. f(z)=-1/z+1/z*1/(1-1/z)=-1/z+sum((1/z)^k,k=1,\inf)=sum((1/z)^k,k=2,\inf)=sum(z^(-k),k=2,\inf) c. f(z)=1/(z-1)-1/z=1/(z-1)-1/(z-1+1)=1/(z-1)-1/(z-1)*1/(1+1/(z-1)) =1/(z-1)-1/(z-1)*sum((-1/(z-1))^k,k=0,\inf)=1/(z-1)+sum((-1/(z-1))^k,k=1,\inf)=sum((-1)^k*(z-1)^(-k),k=2,\inf) d. f(z)=1/(z-1)-1/z=1/(z-2+1)-1/(z-2+2)=1/(z-2)*1/(1+1/(z-2))-1/2*1/(z/2-1+1) =1/(z-2)*sum((-1/(z-2))^k,k=0,\inf)-1/2*sum((-(z/2-1))^k,k=0,\inf) =-sum((-1)^k*(z-2)^(-k),k=1,\inf)-1/2*sum((-1/2)^k*(z-2)^k,k=0,\inf) =-sum((-1)^k*(z-2)^(-k),k=1,\inf)+sum((-1/2)^(k+1)*(z-2)^k,k=0,\inf)

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