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Matroids Matheplanet Forum Index » 8. Matheplanet Challenge » Aufgabe 6
Thema eröffnet 2011-05-12 00:04 von
Martin_Infinite

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Universität/Hochschule Aufgabe 6
fejety
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.40, eingetragen 2011-05-21


Danke fürs Durchschauen!

Ein bisschen kürzer vielleicht auch so:
fed-Code einblenden
EDIT: Aufgrund mehrerer Anfragen, hier ein paar Erläuterungen.
fed-Code einblenden
Nur der Vollständigkeit halber. Aus dem letzten Ausdruck folgt offenbar, dass die Gruppe trivial ist, denn
fed-Code einblenden

[ Nachricht wurde editiert von fejety am 21.05.2011 22:32:22 ]



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StefanVogel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.41, eingetragen 2011-05-21


fed-Code einblenden

[ Nachricht wurde editiert von StefanVogel am 23.05.2011 00:07:35 ]



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StefanVogel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.42, eingetragen 2011-05-21


@fejety: Beitrag No.40 ist meiner Meinung nach richtig gerechnet.



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chryso
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.43, eingetragen 2011-05-21


2011-05-21 01:30 - fejety in Beitrag No. 40 schreibt:
Danke fürs Durchschauen!

Ein bisschen kürzer vielleicht auch so:
fed-Code einblenden


Ich habe ewig herumgerechnet, um deine Aufgabe zu überprüfen.
Für beinahe jedes =-Zeichen brauchte ich eine halbe Seite. (Die inversen Elemente haben mich total blockiert.)

Ich habe alle =Zeichen verifizieren können bis auf das erste in der dritten Zeile.
Das ist aber wesentlich, denn dann könnte man den Beweis auch anders führen.

fed-Code einblenden

Kann mir bitte jemand das erste =Zeichen in der dritten Zeile erklären?

LG chryso


[ Nachricht wurde editiert von chryso am 21.05.2011 20:01:24 ]



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chryso
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.44, eingetragen 2011-05-21


Fortsetzung:

fed-Code einblenden

LG chryso



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StefanVogel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.45, eingetragen 2011-05-21


@chryso: Wegen dem Gleichheitszeichen in der dritten Zeile, die ersten beiden Gleichungen beginnen auf der linken Seite mit dem gleichen Wert, er ist in der zweiten Gleichung nur umgeformt von b2c in cb. Deshalb sind auch die beiden rechten Seiten gleich und daraus folgt dann die dritte Gleichung.

@Curufin: Das Speicherproblem bei G4 lässt sich umgehen, wenn man statt Print(Size(G4)) als Alternative Print(f4.1*f4.3=f4.3*f4.1) eingibt. EDIT: Es muss Print(G4.1*G4.3=G4.3*G4.1) heißen und dann hat man wieder das Rechenzeit- und Speicherproblem.

[ Nachricht wurde editiert von StefanVogel am 22.05.2011 23:55:44 ]



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chryso
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.46, eingetragen 2011-05-21


@StefanVogel
Danke!
LG chryso
[ Nachricht wurde editiert von chryso am 21.05.2011 23:50:09 ]

2011-05-12 00:04 - Martin_Infinite im Themenstart schreibt:
Aufgabe 6. (11 Punkte)

fed-Code einblenden


Gn muss trivial sein für n=1, n=2, n=3
n muss nicht trivial sein für fed-Code einblenden

[ Nachricht wurde editiert von chryso am 22.05.2011 00:32:01 ]



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fejety
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.47, eingetragen 2011-05-21


Beitrag No. 40 habe ich nun um ein paar Erläuterungen ergänzt.

Im Allgemeinen Fall habe ich erfolglos nach irgendeiner Invariante oder Surjektion auf eine einfachere Gruppe gesucht.



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Irrlicht
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.48, eingetragen 2011-05-22


2011-05-21 22:21 - chryso in Beitrag No. 46 schreibt:

Gn muss trivial sein für n=1, n=2, n=3
n muss nicht trivial sein für n>=4



Mir wäre hier ja ein "muss nichttrivial sein" lieber. ;-)

Liebe Grüße,
Alex



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clausthaler
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.49, eingetragen 2011-05-22


2011-05-21 05:57 - StefanVogel in Beitrag No. 41 schreibt:
fed-Code einblenden

Nein, in Gruppen ungerader Ordnung ist jedes Element ein Quadrat.
Dazu diese Aufgabe:
Bild
Gruß    cth



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chryso
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.50, eingetragen 2011-05-22


2011-05-22 10:06 - Irrlicht in Beitrag No. 48 schreibt:
Mir wäre hier ja ein "muss nichttrivial sein" lieber. wink

Warum?
Wäre das nicht falsch?
Es kann doch wohl auch trivial sein, aber es muss nicht.

Es kann nichttrivial sein, aber das ist nicht zwingend.

LG chryso



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Gockel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.51, eingetragen 2011-05-22


@chryso: Wir sind aber längst (seit Post No. 29) auf dem Stand, dass die Gruppen für n>=4 nichttrivial sind.

mfg Gockel.



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Buri
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.52, eingetragen 2011-05-22


Hi chryso & Irrlicht,
zu euren Beiträgen #46, #48, #50 bemerke ich:
1. In Martins Aufgabe ist von der Gruppe Gn nicht die Rede.
"Für welche n muß G trivial sein" ist daher die richtige Formulierung.
Äquivalent ist: Für welche n ist Gn trivial.
2. #46 ist richtig, von offensichtlichem Vertipper abgesehen:
G muß nicht trivial sein für n ≥ 4. OK!
G muß nichttrivial sein für n ≥ 4. Falsch!
Gn ist nichttrivial für n ≥ 4. OK!
Seht ihr den Unterschied?
Wenn nicht, hilft es, wenn ich feststelle, daß Martins Gruppe G aus der Aufgabe, wie sie dasteht, nichts anderes ist als ein homomorphes Bild von Gn?
Gruß Buri


[Die Antwort wurde nach Beitrag No.50 begonnen.]



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Irrlicht
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.53, eingetragen 2011-05-22


2011-05-22 16:14 - chryso in Beitrag No. 50 schreibt:
2011-05-22 10:06 - Irrlicht in Beitrag No. 48 schreibt:
Mir wäre hier ja ein "muss nichttrivial sein" lieber. ;-)

Warum?

Keine Ahnung, ob das falsch wäre. Jedenfalls wäre das im Sinne der Aufgabenstellung. :-) Dass man aber auch immer jeden Witz erklären muss.

Besten Gruß,
Alex




[Die Antwort wurde nach Beitrag No.50 begonnen.]



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neeerreee
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.54, eingetragen 2011-05-22


Spoileralarm:
die gruppe scheint recht bekannt:
eom.springer.de/a/a110270.htm
fds.oup.com/www.oup.co.uk/pdf/0-19-850772-0.pdf
www.math.nus.edu.sg/~matberic/wild03923.pdf
man suche nach higman.



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chryso
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.55, eingetragen 2011-05-22


(2011-05-22 16:34 - Buri
2. #46 ist richtig, von offensichtlichem Vertipper abgesehen:
G muß nicht trivial sein für n ≥ 4. OK!
G muß nichttrivial sein für n ≥ 4. Falsch!

Seht ihr den Unterschied?

Ja ich sehe den Unterschied. Ich meinte es auch so.

Es sollte natürlich nicht "n" allein heißen, eine Zahl kann ja nicht trivial sein, sondern:
Für n ≥ 4 muss G nicht trivial sein.




[ Nachricht wurde editiert von chryso am 23.05.2011 04:40:57 ]



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StefanVogel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.56, eingetragen 2011-05-23


@clausthaler: Hallo, danke für die Richtigstellung. Ich hätte das nicht mehr bemerkt, weil der Beweisversuch nicht weiterging. Klar, Z3 enthält auf der Diagonale alle Gruppenelemente. In der Quelle woher ich das angeblich für alle n wusste, steht das auch nur für gerade n. Die Zusatzaufgabe? Mal versuchen...

@Curufin: Die Programmvariante in Beitrag No.45 musste ich wieder rückgängig machen. Es genügt zu zeigen, dass irgendeine x-beliebige Relation nicht gilt. Dann hat die Gruppe G mindestens zwei Elemente. Das hat mit der fehlerhaften Variante so gut geklappt.



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Irrlicht
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.57, eingetragen 2011-05-23


2011-05-22 22:11 - chryso in Beitrag No. 55 schreibt:
(2011-05-22 16:34 - Buri
2. #46 ist richtig, von offensichtlichem Vertipper abgesehen:
G muß nicht trivial sein für n ≥ 4. OK!
G muß nichttrivial sein für n ≥ 4. Falsch!

Seht ihr den Unterschied?

Ja ich sehe den Unterschied. Ich meinte es auch so.

Es sollte natürlich nicht "n" allein heißen, eine Zahl kann ja nicht trivial sein, sondern:
Für n ≥ 4 muss G nicht trivial sein.


[ Nachricht wurde editiert von chryso am 23.05.2011 04:40:57 ]

Und ich dachte, dein Vertipper wäre in Wirklichkeit ein "G_n". So sieht das dann ja anders aus. :-P

Besten Gruß,
Alex



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chryso
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.58, eingetragen 2011-05-24


Obwohl dies ja schon mehrfach bewiesen wurde, möchte ich nochmals den Nachweis für n=3 zusammenfassen und vereinfachen.

Ich bringe also nichts Neues, sondern nur eine Vereinfachung meines Beweises.

fed-Code einblenden

LG chryso

[ Nachricht wurde editiert von chryso am 24.05.2011 11:05:34 ]



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Martin_Infinite
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.59, vom Themenstarter, eingetragen 2011-05-24




11 Punkte für mich ;).
 
Bemerkungen: Die Lösung für n=0,1,2 ist ja klar und für n=3 habe ich sie hier gefunden (bin auch nicht selbst drauf gekommen). Dass die (universelle) Gruppe für n=4 nichttrivial ist, ist ein Resultat von Higman und kenne ich aus Serre, Trees, Proposition 1.4.6. Ich habe das dann nur noch auf naheliegende Weise auf n > 3 verallgemeinert. Aber die Links von neeeereee zeigen, dass das wohl auch für n > 3 schon bekannt war.

In den ersten Tagen war ich sehr erfreut darüber, dass das Team zwar im Dunkeln getappt ist, aber immerhin zusammengearbeitet hat und versucht hat, etwas eigenes auf die Beine zu stellen. Nach Curufins GAP-Ergebnis war die falsche Vermutung, dass alle Gn trivial sind, wohl über Bord geworfen. Aber irgendwann nennt dann wieder jemand ein Buch, wo der vollständige Beweis drinsteht - Aufgabe dahin. Danach kam immerhin noch die korrekte und kurze Rechnung für n=3 von fejety.

Interesant wäre, ob es noch einen geometrischen Beweis gibt, wie ihn zum Beispiel Buri angedeutet hat, indem man also die Gruppe auf etwas konkretes wirken lässt. So lässt sich zum Beispiel auch die Unendlichkeit der Gruppe < x,y : xp=yp = (xy)p = 1 > zeigen (p > 2 prim), siehe hier.

[ Nachricht wurde editiert von Martin_Infinite am 24.05.2011 14:52:35 ]



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Gockel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.60, eingetragen 2011-05-24


Ärgerlich, sehr ärgerlich. Ich habe sehr lange mit (in deiner Bezeichnung) den Gruppen G_1,2 etc. herumgespielt und versucht, zu erkennen, wie die Konstruktion von G aus diesen Bestandteilen zum Ziel führen könnte. Ich habe allerdings stets versucht, G auf einen Schlag zu konstruieren statt wie in deinem Beweis schrittweise vorzugehen. Schade. Wäre mir diese eine Idee gekommen, wär's klar gewesen...

mfg Gockel.



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Buri
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.61, eingetragen 2011-05-24


2011-05-24 12:38 - Martin_Infinite in Beitrag No. 59 schreibt:
... ob es noch einen geometrischen Beweis gibt, wie ihn zum Beispiel Buri angedeutet hat ...
Hi Martin,
meine Absicht war nicht so sehr geometrisch inspiriert (auch wenn ich weiß, daß dieser Ansatz an anderen Stellen sehr erfolgreich ist), sondern ich wollte nur die Tatsache, daß man anscheinend Permutationen betrachten muß, die aus unendlich vielen unendlichen Zyklen bestehen, irgendwie berücksichtigen.

Aus Gründen der praktischen Schreibweise (nicht aus prinzipiellen Gründen) dachte ich daran, Z2 als Grundmenge zu nehmen. Rechnet man aber drauflos, dann sieht man, wie sich die Vorteile dieser "praktischen Schreibweise" im Sande verlaufen, jedenfalls bei meinen Versuchen.
Gruß Buri
[ Nachricht wurde editiert von Buri am 24.05.2011 19:06:31 ]



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StefanVogel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.62, eingetragen 2011-05-29


2011-05-22 12:03 - clausthaler in Beitrag No. 49 schreibt:
Nein, in Gruppen ungerader Ordnung ist jedes Element ein Quadrat.
Dazu diese Aufgabe:
Bild
Gruß    cth

@clausthaler:
Zuerst meine Übersetzung: Gegeben sei eine Gruppe G, bezeichne G2 die Menge aller Quadrate in G. Zeige, dass für alle natürlichen Zahlen n eine endliche Gruppe G existiert, deren Mächtigkeit genau das n-fache der Mächtigkeit von G2 ist.

Mein Lösungsversuch: Die gegebene natürliche Zahl n zerlege ich in das Produkt einer Zweierpotenz 2k und einer ungeraden Zahl u. Angenommen, für u habe ich bereits eine Gruppe Gu gefunden, deren Mächtigkeit das u-fache von Gu2 ist. Dann finde ich Gn als direktes Produkt von Gu und dem k-fachen direkten Produkt (Z2)k der zyklischen Gruppe Z2. (Z2)k hat nur das Einselement als Quadrat, so dass die Anzahl der Elemente von Gu mit 2k multipliziert wird, die Anzahl der Diagonalelemente aber gleich bleibt.

Jetzt zur Bestimmung von Gu: Weil u ungerade ist, enthält die zyklische Gruppe Zu der Ordnung u ebenfalls u Quadrate. Sei u zunächst Vorgänger einer durch 4 teilbaren Zahl: u=4v-1. Ich bilde das Produkt von Gu und der zyklischen Gruppe Z4 der Ordnung 4, dieses Mal aber nicht das direkte Produkt, sondern ein semidirektes Produkt nach folgendem Schema: Zu wird von einem Element a erzeugt durch die Relation au=e. Dann nehme ich Z4 hinzu, welche von einem Element b und der Relation b4=e erzeugt wird. a und b verknüpfe ich mittels der Relation (ab)2=b2. Es entsteht eine Gruppe Hu, welche neben den Quadraten von Zu nur noch ein weiteres Quadrat b2 enthält. Damit erhalte ich als Verhältnis der Mächtigkeiten von Hu und Hu2 den Bruch 4u/(u+1)=u/v. Im Zähler steht schon das gewünschte Ergebnis und den Nenner mache ich zu 1, indem ich das direkte Produkt von Hu mit einer nach gleichem Ablauf bestimmten Gruppe Gv bilde. Weil v kleiner als u ist, endet das Verfahren irgendwann.

Wenn u ein Nachfolger einer durch 4 teilbaren Zahl ist? ...Da hab ich jetzt gerade noch einen Fehler in meinem Lösungsversuch gefunden... Es ist bestimmt auch besser, hier nicht weiter vom Thema abzuweichen, lieber schreibe ich Martin noch paar Zeilen:

Hallo Martin,
deine MPC-Aufgabe war für mich sehr lehrreich und von Anfang bis Ende total spannend. Dankeschön!!! Zusätzlich aufgeputscht durch meine verkehrten Lösungsansätze eek  eek  habe ich bis zur letzten Sekunde darauf gehofft, dass noch jemand die Lösung schafft. Da denke ich oft daran.  smile

Nochmals danke und viele Grüße,
  Stefan

[ Nachricht wurde editiert von StefanVogel am 29.05.2011 06:21:16 ]



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