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 Fundamentallösung (?) DGL 4. Ordnung |
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Psirus
Junior 
Dabei seit: 14.01.2010
Mitteilungen: 18
 |  Themenstart: 2011-05-26
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Guten Tag, ich versuche grad folgende DGL zu lösen:
ay^'''' - b y^'' = c \delta(x-d)
Die homogene DGL kann ich lösen, aber dann weiß ich nicht weiter, Variation der Konstanten geht jedenfalls nicht.
MfG
Psirus
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dietmar0609
Senior 
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2011-05-26
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schreib doch mal die homogene Lösung hin und suche danach einen passenden Ansatz für die rechte Seite.
Gruss Dietmar
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Psirus
Junior
Dabei seit: 14.01.2010
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2011-05-26
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Also so hätt ichs gemacht:
ay^'''' -b y^'' = 0
mit exp(\lambda x) Ansatz:
\lambda^4 - b/a \lambda^2 = 0
\lambda_(1,2) = 0 -> y_1 = C_1, y_2 = C_2 x
\lambda_(3,4) = +-sqrt(b/a) -> y_3 = C_3 exp(sqrt(b/a)x), y_4 = C_4 exp(-sqrt(b/a)x)
=> y_h = C_1 + C_2 x + C_3 exp(sqrt(b/a)x) + C_4 exp(-sqrt(b/a)x)
[ Nachricht wurde editiert von Psirus am 05.06.2011 11:27:35 ]
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dietmar0609
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| Beitrag No.3, eingetragen 2011-05-26
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Hallo,
Das habe ich auch. Vergleich mal die homogene Lösung mit dem Störglied der rechten Seite.
Mal was von Resonanz gehört ??
Gruss Dietmar
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Psirus
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2011-05-26
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\quoteon(2011-05-26 10:29 - dietmar0609 in Beitrag No. 3)
Vergleich mal die homogene Lösung mit dem Störglied der rechten Seite.
\quoteoff
Da weiß ich leider nicht, was ich machen muss.
\quoteon(2011-05-26 10:29 - dietmar0609 in Beitrag No. 3)
Mal was von Resonanz gehört ??
\quoteoff
Nein, also zumindest nicht in dem Kontext. Aber ich werds mal nachlesen. Danke schonmal
Edit: In meiner Formelsammlung ist Resonanz nur für spezielle Störfunktionen vom Typ
r(x) = P(x) exp(ax) cos(bx) + Q(x) exp(ax) sin(bx)
erklärt. Soll ich den Dirac-Impuls durch so eine Funktionn approximieren?
[ Nachricht wurde editiert von Psirus am 26.05.2011 10:51:05 ]
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dietmar0609
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| Beitrag No.5, eingetragen 2011-05-26
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Muss jetzt mal weg für eine Stunde.
Setz mal ein Polynom 3. Grades an und mach Koeffizientenvergleich. Hat bei mir auf die Schnelle geklappt ....
Gruss Dietmar
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LutzL
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 | Beitrag No.6, eingetragen 2011-05-26
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Hi,
die erste Ableitung der Betragsfunktion ist eine Sprungfunktion von -1 auf 1, die zweite Ableitung ist daher zweimal delta. Wenn Du also Deine Differentialgleichung zweimal integrierst, erhältst Du
\
ay^'''' - b y^'' = c \delta(x-d)
ay''-by=c/2*abs(x-d)+e*x+f
Das hat jetzt eine stetige rechte Seite, kann also mit den üblichen Methoden integriert werden. Da der Betrag abschnittsweise definiert ist, ist eine Fallunterscheidung und ein stetiger Übergang zwischen den Abschnitten notwendig.
Ciao Lutz
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dietmar0609
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| Beitrag No.7, eingetragen 2011-05-26
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Missverständnis meinerseits: Ich dachte delta wäre ein Konstante ...
Dietmar
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Psirus
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2011-06-04
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Danke schonmal für die Antworten, und ich bitte um Entschuldingung, dass Thema jetzt nochmal hochholen zu müssen.
Wenn ich das richtig verstanden habe, sind diese beiden Gleichungen jetzt "äquivalent":
\
ay^'''' - b y^'' = c \delta(x-d)
ay''-by=c/2*abs(x-d)+e*x+f
Wenn ich jetzt eine Fallunterscheidung mache:
für xd:
ay''-by=c/2*(x-d)+e*x+f
Dann sind beide Gleichungen mit Störfunktion "Polynom ersten Grades", d.h. die partikuläre Lösung würde sich wiederum aus Polynomen ersten Grades zusammensetzen, die ja bereits in der homogenen Lösung vorhanden sind ?!
So wie ich das jetzt verstehe würden sich für jeden Bereich eine Lösung ergeben, wobei:
\
y_1 = C_1 + C_2 x + C_3 exp(sqrt(b/a)x) + C_4 exp(-sqrt(b/a)x)
und
y_2 = D_1 + D_2 x + D_3 exp(sqrt(b/a)x) + D_4 exp(-sqrt(b/a)x)
Um die Stetigkeit der Lösung zu gewährleisten, muss y_1(x=d)=y_2(x=d).
Nur wie mach ich das mit dem Dirac-Impuls? Müssen beide Gleichungen die DGL erfüllen, oder eventuell jeder die Hälfte?
Tut mir leid, wenn das jetzt etwas durcheinander ist.
MfG
Psirus
[ Nachricht wurde editiert von Psirus am 05.06.2011 11:28:03 ]
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