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| Autor |
 Untervektorraum von RxR |
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Anonymous
Unregistrierter Benutzer
|  Themenstart: 2001-11-27
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R: Körper der Reellen Zahlen
Eine Gerade im R2 Vektorraum ist eine Teilmenge der Gestalt {l*v ; l
Î R }
hierbei ist v ¹
0 ein fester Vektor. Geben Sie eine math. genaue Begründung für folgende Aussage:
Ein Untervektorraum von R2 ist
eintweder R2 selbst oder {0} oder eine Gerade.
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matroid
Senior 
Dabei seit: 12.03.2001
Mitteilungen: 14626
Wohnort: Solingen
 | Beitrag No.1, eingetragen 2001-11-27
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Hallo,
was bedeutet Untervektorraum?
Die Definition verlangt (etwas verkürzt):
U ist Untervektorraum des K-Vektorraums V, wenn
U1: U ¹ Ø
U2: v,weU => v+w eU
U3: ceK, veU => c*v eU.
Deine Frage hat zwei Seiten.
1.: {0}, die Geraden, und R² sind Untervektorräume von R².
Lösung durch einfaches Nachrechnen.
2.: Es gibt keine anderen Untervektorräume außer denen in 1.
Für 2. suchst Du eine mathematische Begründung.
Die fortgeschrittene Antwort ist:
Da R² die Dimension 2 hat, hat eine Basis von R² genau 2 Elemente.
Die Dimension eines Untervektorraums ist <= der Dimension des Vektorraums.
Also kommen als Dimensionen nur 0, 1 und 2 in Frage. dim U = 0 ist der Nullvektorraum. dim U = 1 ist nach der gegebenen Definition eine Gerade. dim U = 2 ist der R² selbst.
Vielleicht bist Du aber noch nicht so weit in der Vorlesung (vermutlich). Was kann man dann sagen?
Falls nicht 2 verschiedene Elemente in U existieren, ist U der Nullvektorraum.
Falls 2 verschiedene Elemente u,veU existieren, dann gibt es zwei Fälle:
- u = c*v
- u ¹ c*v
Nimm nun aus U ein u. Wenn u = c*v für alle anderen veU, dann ist U eine Gerade.
Wenn aber ein v e U existiert mit u ¹ c*v, dann ist U keine Gerade. Was ist es dann? Weil es ein Untervektorraum des R² ist, muß u+v eU sein. Außerdem muß c*u+d*veU sein (für alle c,deIR).
Dann erzeugen u und v aber schon ganz R². Warum das?
Na, weil z.B. die kanonische Basis des IR² = { (1,0), (0,1) } durch passende Wahl von c und d in U ist.
Wie wählt man c,d passend?
Sei u=(u1,u2), v=(v1,v2).
Es gilt annahmegemäß, daß u ¹ c*v.
Darum kann nicht u1=v1=0 sein, denn sonst gäbe es ein c mit u2 = c*v2 und dann wäre auch u = c*v.
Ebenso kann nicht u2=v2=0 sein.
Und es kann auch nicht u1=u2=0 sein, denn dann wäre u der Nullvektor und dann wäre mit c=0: u=c*v.
Ebenso kann nicht v1=v2=0 sein.
So, das war das.
Nun kannst Du Dir eine Tabelle machen, was noch geht:
u1 u2 v1 v2
------------------
!=0 !=0 !=0 !=0
!=0 !=0 0 !=0
!=0 0 !=0 !=0
usw.
Im ersten Fall wähle nun zunächst c und d so, daß
=> c*(u1,u2) + d*(v1,v2) = (1,0)
Und dann so, da0
=> c*(u1,u2) + d*(v1,v2) = (0,1)
Das ist möglich, weil ui und vi ungleich 0.
Für die übrigen Fälle ähnliche Überlegungen (unter Berücksichtigung der jeweiligen Nullen).
Hoast mi?
Gruß
Matroid
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