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Strukturen und Algebra » Gruppen » Exponent einer Gruppe ist kgV der Ordnungen
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Universität/Hochschule J Exponent einer Gruppe ist kgV der Ordnungen
anya1983
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  Themenstart: 2011-07-12

Hallo. Ich habe die Veständnisfrage zu Satz über Exponente von einer Gruppe. Satz sagt uns, dass die Exponente gleich mit kgV von anderen Ordnungen wird und damit ein Teiler von die Ordnung von G. Es ist klar, wenn die Gruppe zyklisch ist. Wenn nocht, vestehe och das nicht. Was ist wenn ich zwei Elemente von jeweils die Ordnungen 3 und 7 habe. Dann wird Exponente =3 und was mit kgV mit 7?


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  Beitrag No.1, eingetragen 2011-07-12

Hi Anya. Es ist korrekt, dass für endliche Gruppen \exp(G) \| abs(G) gilt. Das gilt, weil für alle x stets x^abs(G)=1 gilt. Die Gruppenordnung abs(G) ist also ein Vielfaches der Elementordnung ord(x). Weil das für alle x gilt, ist abs(G) ein gemeinsames Vielfaches aller Elementordnungen. Das kleinste__ gemeinsame Vielfache \exp(G)=kgV(menge(ord(x) | x\in\ G)) ist daher ein Teiler von abs(G). mfg Gockel. [Verschoben aus Forum 'Strukturen und Algebra' in Forum 'Gruppen' von Gockel] [ Nachricht wurde editiert von fed am 12.07.2011 18:14:31 ]


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anya1983
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2011-07-12

Vilen Dank für dein ausführlichen Antwort. Nur dann vertstehe ich nicht das Unterschied zwieschen Exponente und Ordnungen von G? Definition ist es mir klar: die Ordnung einer endlichen Gruppe ist die Anzahl der Elementen in G. Was ich nun nicht klar, den Zusammenhang zwieschen Ordnung und Exponente. [ Nachricht wurde editiert von anya1983 am 12.07.2011 18:26:16 ]


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  Beitrag No.3, eingetragen 2011-07-12

Gegenfrage: Aus welchem Grunde sollten die beiden Zahlen denn gleich sein? Oder anders gefragt: Wie kommst du denn darauf, dass es keinen Unterschied gibt? mfg Gockel.


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anya1983
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2011-07-12

Da x^abs(G)=1.


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  Beitrag No.5, eingetragen 2011-07-12

Ja und? Wie soll daraus deiner Meinung nach exp(G) = |G| folgen? Mache dir klar, dass diese Gleichung falsch ist. Das kleinste Gegenbeispiel ist Z/2 x Z/2. mfg Gockel.


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anya1983
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2011-07-12

Ich habe dieser Gleichung erstmal hier gesehen. Wann es richtig ist?


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  Beitrag No.7, eingetragen 2011-07-12

\exp(G) = abs(G) gilt genau dann, wenn alle Sylowgruppen von G zyklisch sind. Das ist eine sehr starke Bedingung, die die Struktur der Gruppe drastisch einschränkt. mfg Gockel.


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anya1983
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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2011-07-12

1. Reicht es nicht sagen, dass ord(x)=exp(x)=Ord(G), wenn die Gruppe G nur von (x) erzeugt wird, also zyklisch. 2. Nun wieder zu meinen Frage. Die beweis zeigt, dass wenn x^m=1 und ord(x)=n, dann n teilt m. Es ist klar. Sei nun n=Exp(G). Wieso folgt, dass n kgV von alle Ordnungen der Elementen von G sein muss und dass n teilt abs(G)


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  Beitrag No.9, eingetragen 2011-07-12

1. Wofür soll das "reichen"? Für zyklische Gruppen ist exp(G)=|G|, das stimmt, und deine Begründung dafür ist ebenfalls richtig. Mehr folgt daraus jedoch nicht (unmittelbar). 2. Ich denke \exp(G)=kgV(menge(ord(x) | x\in\ G)) ist eure Definition des Exponenten!? Schreibe die Definition auf, die ihr verwendet. mfg Gockel.


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anya1983
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  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2011-07-13

Nein, \exp(G) war definiert, als kleinste n\el\IN Zahl, so dass für ein g\el\ G g^n=1 gilt. Daraus soll es mir klar sein, dass \exp(G)=kgV(menge(ord(x) | x\in\ G)) gilt. Was ich aber immer noch nicht vestehe.


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  Beitrag No.11, eingetragen 2011-07-13

Das folgt doch aber sofort aus x^n = 1 <=> ord(x) \| n \exp(G) ist so ein n, also ein gemeinsames Vielfaches aller Elementordnungen und nach Definition ist es eben das kleinste Vielfache. mfg Gockel.


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anya1983
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  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2011-07-14

Danke, so elemntar. Aber ich hatte es nicht sofort hingekriegt confused Danke sehr für deine Hilfe


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anya1983 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
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