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 DGL 4. Ordnung mit Dirac-Funktion |
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mathmath
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 |  Themenstart: 2011-08-30
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Hallo miteinander,
ich arbeite gerade an der Lösung der folgenden DGL 4.Ordung und habe keine Idee, wie die Lösung hierzu aussehen könnte:
y''''(x)+c^2*y''(x)-1=\delta_0(x)
Ich habe es derweilen mit der Substitution z=y'' versucht, komme mithilfe der charakteristischen Gleichung auch nicht wirklich weiter.
Ohne die Delta-Funktion ist die Lösung berechenbar, indem man die homogene Gleichung z''(x)+c^2*z(x)=0
betrachtet, deren charakteristische Gleichung löst (man addiert anschließend den konstanten Term 1/c^2 hinzu und erhält die Lösung der inhomogenen Gleichung z''(x)+c^2*z(x)=1 ) und die Lösung anschließend 2 mal aufintegriert.
Was kann ich nun aber tun, wenn zusätzlich die Dirac-Funktion betrachtet wird? Die Lösungsfunktion muss zwei mal stetig differenzierbar sein, für die dritte Ableitung muss jedoch an der Stelle x=0 eine Sprungstelle sein, wenn ich den rechten und linken Grenzwert an x=0 betrachte?
Hat jemand eine Idee zu diesem Problem oder hat sich schon mit Ähnlichem auseinandersetzen müssen?
Viele Grüße, mathmath
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Gockel
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2011-08-30
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Hi.
Die Differenzierbarkeitsüberlegung ist natürlich nicht zielführend, weil hier offenkundig Distributionen gemeint sind. Ansonsten könnte die Delta-Distribution ja niemals auf der rechten Seite auftauchen.
Zunächst sollte man eine Fundamentallösung der homogenen DGL finden, d.h. eine Lösung von
y^(4)+c^2*y^(2) = \delta.
Wie findet man das? Ein Ansatz ist, anzunehmen, dass alles gut geht und die DGL Fourier zu transformieren. Man hat also
y^(4)+c^2*y^(2) = \delta
Jetzt wendet man \calF an:
(ix)^4*\calF||y+c^2*(ix)^2*\calF||y = \calF||\delta = k*1
\(dabei hängt der Wert von k davon ab, welche Konstanten du bei der Definition der FT benutzt hast\)
Umgestellt also:
\calF||y = k*1/(x^4-c^2*x)
Wenn du das wieder zurücktransformierst, hast du eine Fundamentallösung y_0 gefunden. Wenn du jetzt die inhomogene Gleichung
y^(4)+c^2*y^(2) = g
lösen willst, dann reicht es, einfach zu falten:
y = y_0 \* g
Das ist, wie man leicht feststellt, eine Lösung der inhomogenen DGL. Alle anderen Lösungen ergeben sich wie immer, indem man eine Lösung der homogenen DGL addiert.
mfg Gockel.
[ Nachricht wurde editiert von fed am 30.08.2011 18:37:11 ]
[ Nachricht wurde editiert von fed am 31.08.2011 00:26:54 ]
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mathmath
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2011-08-30
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Hallo Gockel,
welche Fourier-Transformation wendest du an, die Standard-Fourier-Transformation
\calF||y(t)=1/sqrt(2*\pi)*int(y(x)*e^(-ix*t),x,\IR) ?
Vielen Dank für den Ansatz, jedoch wie berechne ich die Rücktransformation y(x)=1/sqrt(2*\pi)*int(e^(ix*t)/(t^4-c^2*t^2),t,\IR)
Ich sehe jetzt direkt keine geschlossene Funktionsdarstellung für das Integral.
Viele Grüße, mathmath
[ Nachricht wurde editiert von mathmath am 30.08.2011 19:31:49 ]
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Wally
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 | Beitrag No.3, eingetragen 2011-08-30
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Möglicherweise ist es einfacher, die Fundamentallösung mit Hilfe der Laplacetransformation zu ermitteln.
Die Rücktransformation sollte mit Hilfe der Partialbruchzerlegung machbar sein.
Wally
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mathmath
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2011-08-30
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Hallo Wally,
das habe ich einmal ausprobiert, und erhalte dann als Fundamentallösung y(x)=1/c^2-1/(2*c^2)*exp(-icx)-1/(2*c^2)*exp(icx)
Das löst dann jedoch die homogene Gleichung y''''(x)+c^2*y''(x)=0
und die Information der Dirac-Distribution ist verloren gegangen!?
Viele Grüße, mathmath
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Gockel
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| Beitrag No.5, eingetragen 2011-08-30
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Hi.
Wie schon gesagt, kann die Lösung keine überall definierte C^\infty-Funktion sein, sondern muss eine Distribution sein, die eine echte Singularität im Nullpunkt hat. Ansonsten kann beim Ableiten niemals die Delta-Distribution herauskommen.
Ergo: Du hast dich verrechnet.
mfg Gockel.
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mathmath
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2011-08-30
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Hallo,
@Gockel, du hast natürlich recht, wenn ich jedoch die Fundamentallösung um die Heavyside-Funktion ergänze, also y(x)=H(x)-1/(2*c^2)*exp(-icx)-1/(2*c^2)*exp(icx),
dann bekomme ich die Dirac-Distribution wieder hinein, nur passt die Gleichung dann wieder nicht. Muss ich sie entsprechend normieren, damit die DGL aufgeht? Und wenn ja, wie?
Viele Grüße, mathmath
[ Nachricht wurde editiert von mathmath am 30.08.2011 21:14:27 ]
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Gockel
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| Beitrag No.7, eingetragen 2011-08-30
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Umnormieren hilft nicht, denn das ändert ja nur etwas an den diversen Konstanten. Ergo: Du hast dich immer noch verrechnet.
Präsentiere doch einmal deine Rechnung. Dann können wir ja sehen, wo der Fehler liegt.
mfg Gockel.
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mathmath
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2011-08-30
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Hallo,
ich habe zunächst den Vorschlag der Laplace-Transformation von Wally benutzt mit \calL(y)(s)=int(exp(-s*x)*y(x),x,0,\inf),
da ich deinen Ansatz über die Fourier-Transformation nach Anwenden nicht mehr zurücktransformieren kann. Ich erhalte dann nach Umordnen \calL||y=1/(s^4+c^2*s^2).
Wenn ich nun die Partialbruchzerlegung betrachte, um die Rücktransformation durchzuführen, erhalte ich die 3 Nullstellen 0, -i*c und i*c,
Multiplikation mit der Exponentialfunktion ergibt mir dann die Lösung der homogenen Gleichung ohne die Delta-Distribution.
Stimmt das so, oder ist schon hier der Fehler drin? Offensichtlich ist ja 0 eine Nullstelle des Nenners (s^4+c^2*s^2),
jedoch sollte gerade bei x=0 die Sprungstelle sein, hier weiß ich nicht mehr weiter. 
Kannst du mir da weiterhelfen?
Viele Grüße, mathmath
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rlk
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| Beitrag No.9, eingetragen 2011-08-30
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\
Hallo Mathmath,
ein anderer Weg zur Lösung der Gleichung
y''''+c^2\.y''=\delta_0(x) \lr(1)
ist die bestimmte Integration von \ref(1), damit bekommst Du auf der rechten Seite die Heaviside\-Sprungfunktion
int(\delta_0(\xi),\xi,-\inf,x)=H(x).
Die integrierte Gleichung kannst Du dann auf dieselbe Weise lösen wie Du das für
z''+c^2\.z=1 \lr(2)
schon getan hast \(das Ergebnis der zweimaligen Integration fehlt aber in Beitrag 4\).
Ich hoffe, das hilft Dir,
Roland
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mathmath
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| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2011-08-30
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Hallo rlk,
der Ausdruck int(\delta_0(\xi),\xi,-\inf,x)=H(x).
ist mir bekannt, jedoch habe ich noch nie etwas von einer Lösung über eine bestimmte Integration gehört.
Das Ergebnis in Beitrag 4 ist doch die Lösung der homogenen Gleichung y''''(x)+c^2*y''(x)=0,
oder was genau meinst du damit, dass das Ergebnis der zweimaligen Integration fehlt?
Viele Grüße, mathmath
[ Nachricht wurde editiert von mathmath am 30.08.2011 22:18:07 ]
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Gockel
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| Beitrag No.11, eingetragen 2011-08-30
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Die von rlk vorgeschlagene Methode funktioniert nicht. Die Integrale existieren dabei nicht.
Was funktioniert, ist aber folgendes: Man bildet auf beiden Seiten zweimal eine Stammfunktion. Dadurch reduziert man zunächst die Ordnung der DGL von vier auf zwei.
mfg Gockel.
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mathmath
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| Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2011-08-30
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Hallo,
dann erhalte ich
y''(x)+c^2*y(x)=H(x)*x+C \lr(1),
wobei C \in \IR Integrationskonstante.
Die homogene Gleichung y''(x)+c^2*y(x)=0
ist ja gelöst, die Lösung lautet wie schon im ersten Beitrag erwähnt y(x)=a_1*exp(-i*c*t)+a_2*exp(i*c*t),
im Falle der inhomogenen Gleichung y''(x)+c^2*y(x)=1
wird der Term 1/c^2 hinzuaddiert.
Was ist nun aber, wenn die rechte Seite von (1) gegeben ist?
Und was genau ist jetzt falsch an der Lösung in Beitrag 8? Wie muss die Heavyside-Funktion angewendet werden, damit es klappt?
Viele Grüße, mathmath
[ Nachricht wurde editiert von mathmath am 30.08.2011 22:54:19 ]
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Gockel
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| Beitrag No.13, eingetragen 2011-08-30
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In No.8 ist falsch, dass das falsche Ergebnis herauskommt ;-)
Du hast das zu ungenau beschrieben, um sicher zu sein, was genau du falsch gemacht hast. Ich würde drauf tippen, dass du nicht beachtet hast, dass 0 eine doppelte Nullstelle ist.
Die homogene Gleichung zu lösen, reicht nicht, wenn du inhomogene Gleichungen lösen willst!
Die Überlegung mit der Stammfunktion sollte zur Vereinfachung dienen. Du bekommst jetzt eine DGL der Form
y^´´+c^2*y = g(x)
Und die Hoffnung war, dass du bereit weißt, wie man diese Gleichung löst, wenn dir der allgemeine Weg über FT, LT und Co nicht zusagt.
mfg Gockel.
[ Nachricht wurde editiert von Gockel am 30.08.2011 23:06:07 ]
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mathmath
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| Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2011-08-30
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Hallo,
ja, da habe ich 0 als einfache Nullstelle behandelt, jedoch ist mir klar, dass es eine zweifache ist. wie behandle ich eine zweifache Nullstelle? Der Ansatz über die Partialbruchzerlegung mit anschließender Multiplikation der Exponentialfunktion bringt mich nicht auf die Heavyside-Funktion.
Und wenn ich die Lösung der homogenen DGL aus Beitrag 12 falte mit der rechten Seite, dann existiert das Integral nicht für int(exp(i*c*x),x,0,\inf)
Ich weiß nicht, wie ich weiter auf die Lösung kommen soll. Kannst du mir es bitte sagen?
Viele Grüße, mathmath
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Gockel
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| Beitrag No.15, eingetragen 2011-08-30
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\quoteon(2011-08-30 23:15 - mathmath in Beitrag No. 14)
Ich weiß nicht, wie ich weiter auf die Lösung kommen soll. Kannst du mir es bitte sagen?
\quoteoff
Wir haben inzwischen drei verschiedene Ansätze hier im Thread. Hier ist Nummer vier: Probiere Variation der Konstanten.
mfg Gockel.
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Wally
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| Beitrag No.16, eingetragen 2011-08-30
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zu Beitrag 4: wenn man mit der Laplacetrafo rechnet, muss man alle Funtionen für x<0 auf Null setzen!
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.14 begonnen.]
[ Nachricht wurde editiert von Wally am 30.08.2011 23:22:05 ]
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mathmath
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| Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2011-08-30
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Hallo,
ja, aber bei jedem der Ansätze bleibe ich irgendwo hängen. Bei der fourier-Transformation weiß ichbei bestem Willen nicht, wie ich die Rücktransformation berechnen soll, bei der Laplace-Transformation erhalte ich die doppelte Nullstelle 0, wie ich die jetzt behandeln soll, weiß ich nicht, ich kenne nur den Ansatz für einfache Nullstellen, die Faltung versuche ich auch schon, nur da erhalte ich Integrale, die nicht existieren.
Viele Grüße,
mathmath
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Gockel
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| Beitrag No.18, eingetragen 2011-08-30
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Die Rücktransformation der FT ist hier im Wesentlichen identisch zur Rücktrafo der LT. Wo genau scheiterst du denn da? Okay, dein Kochrezept funktioniert nicht bei mehrfachen Nullstellen, aber Mathe besteht aus mehr als Kochrezepten. Schau dir doch z.B. mal den Beweis dieses Kochrezeptes an, ob du ihn auf allgemeinere Sachverhalte verallgemeinern kannst. Darüber hinaus musst du ja mindestens eine allgemeingültige Charakterisierung der inversen LT kennen, die du mal versuchen könntest...
Die Wege sind so vielfältig. Es kann gar nicht sein, dass du mit keinem weiter kommst.
Und wen faltest du denn mit wem? Bis jetzt sind Faltungen nur aufgetaucht in Post No.1 und dafür bräuchtest du ja eine Fundamentallösung, die du bisher nicht hast.
mfg Gockel.
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mathmath
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| Beitrag No.19, vom Themenstarter, eingetragen 2011-08-30
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Hallo,
bei der Rücktransformation der Laplace-Transformation erhalte ich die Fundamentallösung y(x)=1/c^2-1/(2*c^2)*exp(-icx)-1/(2*c^2)*exp(icx),
wenn ich nun die mit der rechten Seite H(x)*x+C
falte, dann komme ich irgendwo an dem Punkt an, dass ich das nicht definierte Integral int(exp(i*c*x),x,0,\inf)
erhalte.
Zu deinem Vorschlag mit der Variation der Konstanten:
Nach zweimaligem Ableiten des Variationsterms und Einsetzen in die inhomogene Gleichung y''(x)+c^2*y(x)=H(x)*x,
erhalte ich K''(x)+c^2*K(x)=H(x)*x+1.
Und jetzt? Da habe ich doch dasselbe Problem vorliegen, das Lösen dieser Gleichung. Es ist zum verzweifeln.
Viele Grüße, mathmath
[ Nachricht wurde editiert von mathmath am 30.08.2011 23:55:10 ]
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Gockel
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| Beitrag No.20, eingetragen 2011-08-31
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Diese "Fundamentallösung" ist keine, das hatten wir doch schon geklärt. Und selbst wenn: Distributionen faltet man nicht durch Integration!
Bei der Variation der Konstanten weiß ich nicht, wie du auf diese Gleichung kommst. Ich bekomme etwas anderes heraus. Wo wir gerade dabei sind: Hast du eigentlich Anfangswerte o.Ä. gegeben? Das wäre ja nützlich zu wissen für die Variation der Konstanten.
mfg Gockel.
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mathmath
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| Beitrag No.21, vom Themenstarter, eingetragen 2011-08-31
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Hallo,
sorry, die Anfangsbedingungen habe ich vergessen:
y(0)=0
y'(0)=0
Bei dem Ansatz der Variation der Konstanten habe ich gewählt:
y_p(x)=C_1*y_1(x)+C_2*y_2(x), wobei y_1=cos(cx), y_2(x)=1/c*sin(cx)
Wenn ich nun ableite erhalte ich das GLS:
(cos(cx),1/c*sin(cx);-c*sin(cx),cos(cx))*(C'_1(x);C'_2(x)) = (0;H(x)*x+1)
und nach Rechnen die Werte
C'_1(x)=-(H(x)*x+1)*(1/c)*sin(cx)
C'_2(x)=(H(x)*x+1)*cos(cx))
Stimmt das soweit?
Viele Grüße, mathmath
Wie man Distributionen faltet ist mir nicht bekannt. Da müsste ich mich erst einmal hineinlesen.
[ Nachricht wurde editiert von mathmath am 31.08.2011 17:14:37 ]
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mathmath
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| Beitrag No.22, vom Themenstarter, eingetragen 2011-08-31
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Hallo miteinander,
wenn ich nun C'_1(x) und C'_2(x) aufintegriere und in den Ansatz y_p(x)=C_1*y_1(x)+C_2*y_2(x), wobei y_1=cos(cx), y_2(x)=1/c*sin(cx)
einsetze, dann erhalte ich als Lösung
y(x)=-1/(c^3)*H(x)*sin(cx)*cos(cx)-cx*cos^2(cx)-2/c^3*H(x)*sin^2(cx/2)*sin(cx)+1/c^2*H(x)*x*sin^2(cx)+1/c^2
Kann mir das jemand bestätigen? Ich weiß nicht, ob sich ein Rechenfehler eingeschlichen hat, hoffe es aber nicht.
Außerdem meinte mein Professor, dass die Rücktransformation beim Laplace- bzw Fourier-Trafo-Ansatz so nicht gehe, da das Integral nicht existiert. Wenn man das für die Nullstelle x=0 betrachtet, so kann dies für 1/(x^2) nicht existieren.
Wieso meint ihr aber, dass es trotzdem mit der Rücktransformation klappt?
Viele Grüße, mathmath
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Gockel
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| Beitrag No.23, eingetragen 2011-08-31
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Dein Professor hat Recht. Die Nennernullstellen verhindern, dass der Integrand in der FT integrierbar wird. Daran habe ich gar nicht gedacht. Weil man hier ja sowieso mit Distributionen arbeitet, habe ich an die distributionelle FT gedacht und nicht beachtet, dass da ganz andere Schwierigkeiten auftreten.
Das Vorgehen funktioniert tatsächlich, da es für jedes Polynom p eine temperierte Distribution T mit Tp=1 gibt. Das ist i.A. nicht 1/p, weil 1/p nicht lokal integrierbar und daher keine Distribution sein muss, aber für unsere Zwecke ist T ganz genauso gut. T kann man jetzt nämlich invers fouriertransformieren und hat dann ebenfalls eine Fundamentallösung gefunden (eventuell eine andere als erwartet). Das Problem ist, dass es wirklich nicht einfach ist, das T zu finden.
Entschuldige, dass ich dich da auf den falschen Pfad geführt habe. Was man aber versuchen kann, ist einfach trotzdem zu "integrieren", als ob es die Integrale gäbe, und hoffen, dass das, was am Ende dabei herauskommt, trotzdem eine Fundamentallösung ist. Angesichts dessen, dass ich das nicht bis zum Ende durchgerechnet habe, bin ich aber jetzt mal vorsichtig mit Erfolgsversprechungen.
Das ist wohl auch beim Vorgehen mit der Laplace-Transformation analog.
Ich hab deine Lösung jetzt nicht abgeleitet. Das kannst du doch selbst machen. (Oder lass es ein CAS machen)
Was ich mich aber frage: Wieso benutzt du 1/c*sin(cx) statt sin(cx) als Basis für den Lösungsraum der homogenen Gleichung.
mfg Gockel.
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mathmath
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| Beitrag No.24, vom Themenstarter, eingetragen 2011-08-31
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Hallo Gockel,
das hatten wir so in der Vorlesung, bei Betrachtung des Problems
cases(y''(x)=-c^2*y(x), x>=0;y(0)=u_0; y'(0)=v_0)
Die Eigenwerte sind in diesem Fall i*c und -i*c und das eingesetzt in die Hauptfundamentallösung ergibt die periodische Lösung für die homogene Gleichung,
y(t)=cos(cx)*u_o + 1/c*sin(c*x)*v_0
Viele Grüße, mathmath
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Gockel
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| Beitrag No.25, eingetragen 2011-08-31
|
Aha, da sind die Anfangswerte schon eingerechnet.
mfg Gockel.
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mathmath
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| Beitrag No.26, vom Themenstarter, eingetragen 2011-09-14
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Hallo,
eine Frage habe ich dann immernoch.
Wenn ich die Differentialgleichung aus #1 betrachte, so kann ich, falls ich u=y'' setze, die homogene Gleichung lösen und erhalte u(t)=a*cos(c*t+b). Rücksubstitution ergibt mir das gleiche Ergebnis (klar: ich erhalte ein -1/c^2 vor dem Kosinus-Term, das ändert jedoch nichts an der allgemeinen Lösung), also y(t)=a*cos(c*t+b). Die Integrationskonstanten sollen hierbei nicht beachtet werden.
Wenn ich nun die Lösung der inhomogenen Gleichung haben möchte, dann falte ich doch die homogene Lösung mit der rechten Seite. Dann erhalte ich aber nur eine um x-t verschobene Lösung, also y(t)=a*cos(c*(x-t)+b).
Diese erfüllt definitiv nicht die inhomogene Differentialgleichung.
Außerdem habe ich einen Satz gelesen, wonach für den Fall, dass auf der rechten Seite nur die Delta-Distribution steht, die inhomogene Lösung gegeben ist durch die homogene Lösung multipliziert der Heaviside-Funktion. Dies löst jedoch auch nicht die Differentialgleichung.
Kann mir jemand sagen, wo der Fehler in meiner Argumentation ist?
Viele Grüße, mathmath
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| mathmath hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen. |
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