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| Autor |
  inhomogene Differentialgleichung, Faltung |
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mathmath
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 19.11.2007
Mitteilungen: 157
 |  Themenstart: 2011-10-11
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Hallo zusammen,
ich versuche gerade, die inhomogene Lösung der Differentialgleichung
z''''+c^2*z''+z=\delta_0(x), 00 und \tau=sin(rho).
Wenn ich nun aber die inhomogene Gleichung betrachte mit der Dirac-Distribution auf der rechten Seite, so ergibt sich die Lösung doch aus der Faltung von homogener Lösung und Dirac-Distribution, d.h.
z(x)=\int(\alpha*exp(\sigma*x)*cos(\tau*x+\beta)*\delta_0(t-x),t,-\inf ,\inf).
Dann erhalte ich jedoch wieder die homogene Lösung, und die Superposition kann keine Lösung der inhomogenen Gleichung sein.
Sieht jemand den Fehler? Hat jemand einen anderen Ansatz parat?
Viele Grüße, mathmath
[ Nachricht wurde editiert von mathmath am 12.01.2012 19:38:33 ]
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 Profil
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rlk
Senior 
Dabei seit: 16.03.2007
Mitteilungen: 11650
Wohnort: Wien
| Beitrag No.1, eingetragen 2011-10-13
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Hallo Mathmath,
die allgemeine Lösung einer homogenen linearen Differentialgleichung 4. Ordnung bildet eine 4\-dimensionale lineare Mannigfaltigkeit, ihre Beschreibung muss daher 4 Parameter enthalten. In Deiner Lösung sehe ich nur zwei \(\alpha und \beta\).
Eine eindeutig bestimmte Lösung der inhomogenen Gleichung mit \delta(x) als rechter Seite erhältst Du, indem Du noch geeignete Anfangsbedingungen festlegst.
In diesem Beitrag habe ich versucht zu erklären, wie man diese Impulsantwort (die auch noch ein paar andere Namen hat) bestimmen kann. Das könnte Dir auch für deine andere Aufgabe nützlich sein.
Die Lösungen inhomogener Gleichungen kannst Du dann durch Faltung dieser Impulsantwort mit der entsprechenden rechten Seite bestimmen.
Ich hoffe, das hilft Dir,
Roland
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Wally
Senior 
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 9774
Wohnort: Dortmund, Old Europe
 | Beitrag No.2, eingetragen 2011-10-13
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Alternativ zu Rolands ultraausführlichen Beiträgen (mensch Roland, das finde ich supergut gemacht von dir :):) ), hast du vielleicht die Grundlösung mit der Laplacetransformation bestimmt.
Dann musst du - weil hierbei alle Funktionen für negative Argumente Null sind (und sein müssen) - das Ergebnis mit der Heaviside-Funktion multiplizieren und nach "Laplace-Art" falten.
Wally
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mathmath
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 19.11.2007
Mitteilungen: 157
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2012-01-12
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Hallo Wally,
vielen Dank für den Tipp, das war der Knackpunkt. 
Viele Grüße,
mathmath
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mathmath hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
mathmath hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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