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| Autor |
  Lineare Dgl. n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten |
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Chris311
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 6599
Wohnort: Karlsruhe
 |  Themenstart: 2011-10-24
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Guten Morgen,
\big\Satz__
Sei P(\lambda) = produkt((\lambda-\lambda_\nue)^k_\nue,\nue=1,r) das charakteristische Polynom von
L(y):=y^(n) +a_(n-1) y^((n-1)) +...+a_1 y' +a_0 =0, wobei \lambda_1, ..., \lambda_r \in \IC, \lambda_\nue != \lambda_\mue (\nue != \mue), sum(k_\nue,1,r)=n. Dann bilden die Funktionen
\ll(*) x^\mue exp(\lambda_\nue x), \nue=1,...,r, 0<=\mue<=k_\nue-1
ein (i.A. komplexwertiges) F'talsystem für L(y)=0.
Warum hier
0<=\mue<=k_\nue-1
und nicht etwa
1<=\mue<=k_\nue ?
k_\nue sind doch die alg. Vielfachheiten der Nst.
Liebe Grüße
Chris
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lula
Senior 
Dabei seit: 17.12.2007
Mitteilungen: 11554
Wohnort: Sankt Augustin NRW
 | Beitrag No.1, eingetragen 2011-10-24
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Hallo
bei einfachen Nullstellen (k=1)hast du doch x^0!
bis dann lula
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Chris311
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 6599
Wohnort: Karlsruhe
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2011-10-24
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Hallo lula und danke für deine Antwort.
Und das will man so haben oder wie?
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Chris311
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 6599
Wohnort: Karlsruhe
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2011-10-25
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Radix
Senior 
Dabei seit: 20.10.2003
Mitteilungen: 6438
Wohnort: Wien
 | Beitrag No.4, eingetragen 2011-10-25
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Ums Wollen gehts hier nicht. Man muss es so machen, um ein korrektes Fundamentalsystem zu erhalten.
Würde man deinen Vorschlag für die Ungleichung verwenden, wäre die x-Potenz immer um 1 zu hoch und es läge kein Fundamentalsystem vor.
Gruß,
Radix
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Chris311
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 6599
Wohnort: Karlsruhe
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2011-10-26
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Hallo Radix und danke für deine Antwort.
\quoteon(2011-10-25 21:50 - Radix in Beitrag No. 4)
Ums Wollen gehts hier nicht. Man muss es so machen, um ein korrektes Fundamentalsystem zu erhalten.
Würde man deinen Vorschlag für die Ungleichung verwenden, wäre die x-Potenz immer um 1 zu hoch und es läge kein Fundamentalsystem vor.
Gruß,
Radix
\quoteoff
Das ist alles schon klar; andererseits würde der Satz ja nicht gelten. Aber ich möchte wissen warum man das so machen muss. Beispielsweise wenn ich diesen Satz selber aufgestellt hätte, wie käme ich zu der Einsicht, dass es so sein soll? Das sehe ich noch nicht. Ich könnte es zwar so auswendig lernen, aber verstanden hab ichs dann nicht.
Liebe Grüße
Chris
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LutzL
Senior
Dabei seit: 06.03.2002
Mitteilungen: 10094
Wohnort: Berlin-Mahlsdorf
 | Beitrag No.6, eingetragen 2011-10-26
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Hi,
das ist so, weil $y^{(n)}(x)=0$ Polynome vom Grad höchstens n-1 zur Lösung hat.
Ciao Lutz
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Chris311
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 6599
Wohnort: Karlsruhe
| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2011-10-26
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Hallo Lutz und vielen Dank für deine Antwort.
Stimmt, damit gebe ich mich schon zufrieden. Das erklärt auch warum man bei \mue = 0 anfängt: Lösungen haben mindestens Grad 0.
Liebe Grüße
Chris
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Chris311 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Chris311 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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