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| Autor |
  Wronski-Determinante |
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Ehemaliges_Mitglied
 |  Themenstart: 2004-01-16
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Hallo alle zusammen
habe folgendes Problem. Weiß einer wie man zu
folgender Differentialgleichung die Wronski Determinate
aufstellt???
x^****(t)-5x^***(t)+6x^**(t)+4x^*(t)-8x(t)=0
(das erste x soll eigentllich 4 Punkte haben,
ich wußte bloß nicht wie ich das dem fedgeo sage)
Lösung der Differentialgleichung ist
x(t)=(C_1)e^(-t)+(C_2)e^(2t)+C_3*t*e^(2t)+C_4*t^2*e^(2t)
aber jetzt dazu die Wronski-Determinate ????
vielen Dank im voraus
HeyDee
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LutzL
Senior 
Dabei seit: 06.03.2002
Mitteilungen: 10094
Wohnort: Berlin-Mahlsdorf
 |  Beitrag No.1, eingetragen 2004-01-16
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Hi,
Du musst (wenn es systematisch sein soll) aus der Differentialgleichung ein System erster Ordnung machen, z.B. indem Du den Vektor von nullter bis dritter Ableitung betrachtest. Dann fuer alle Fundamentalloesungen die Vektoren nebeneinander und die Determinante bilden. Es ist sinnvoll, Fundamentalsystem und Wronsky-Determinante bei Systemen erster Ordung auch theoretisch verstanden zu haben.
Ciao Lutz
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2004-01-17
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hallo
Lutz meinte, ich soll mein System in eines erster Ordnung
umwandeln.
das würde dann so in etwa aussehen:
(x_4)^*=5x_4-6x_3-4x_2+8x_1
(x_3)^*=x_4
(x_2)^*=x_3
(x_1)^*=x_2
Die dazugehörige Matrix wäre dann:
(0,1,0,0;0,0,1,0;0,0,0,1;8,-4,-6,5)
Ist das jetzt meine Wronski-Determinante ?????
HeyDee
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Biba
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 08.05.2003
Mitteilungen: 77
 | Beitrag No.3, eingetragen 2004-01-18
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Hallo,
nein eine Matrix kann keine Determinante sein!
Das ist dein DGL System in Matrixschreibweise.
Die Wronskideterminante ist die Determinante der N Lösungen eines
Systems, die du als Spaltenvektoren "einfach" nebeneinander
schreibst.
Um also die W-Det auszurechnen, kannst du zwei Wege gehen:
1. Du bestimmst die Lösungen deiner DGL und schreibst sie nebeneinander als Matrix und davon rechnest du die Determinante aus.
2. (Wie ich finde eleganter, falls du nur die W-Det benötigst)
gilt für W-Det :
w^* = [spur A(t)]*w
bzw:
w(t) = w(\t)*e^(int([spur A(s)],s,\t,t))
Gruß,
BiBa
\mixoff
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2004-01-18
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Hallo
Lösung der Differentialgleichung ist
ja das folgende gewesen:
x(t)=(C_1)e^(-t)+(C_2)e^(2t)+C_3*t*e^(2t)+C_4*t^2*e^(2t)
Unser Prof hat uns zur Definition der Wronski-Det. nur eins gegeben:
det(y_1,y_2,...,y_n;(y_1)^*,(y_2)^*,...,(y_n)^*;(y_1)^**,(y_2)^**,...,(y_n)^**;...;(y_1)^(n-1),(y_2)^(n-1),...,(y_n)^(n-1))
Was sind jetzt in meiner Lösung die (y_1),(y_2),...,(y_n) ?
HeyDee
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2004-01-18
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Wollte nur meine Frage hochschieben 
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Biba
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 08.05.2003
Mitteilungen: 77
| Beitrag No.6, eingetragen 2004-01-18
|
Hi,
ich schreib dir mal eine Schritt f+r Schritt Anleitung wie du
die Lösung des Systems bestimmen kannst und dann auf die Wronski
Determinante kommst.
Also gehen wir von deiner Matrix A aus:
A = (0,1,0,0;0,0,1,0;0,0,0,1;8,-4,-6,5)
Diese liegt nicht in Jordan#scher Normalform vor, also müssen
wir die erst einmal bestimmen um die Lösung e^(At) bestimmen zu können.
Also:
Berechung von von e^(At) für lineare Systeme mit konstanten Koeffizienten:
1.Schritt: Berechnung der Eigenwerte von A.
( Hier geb ich dir sogar noch die Lösung zum Vergleich:
\l_1 = -1 einfach, \l_2 = 2 dreifach)
2.Schritt: Berechnung der zugehörigen Eigenvektoren(und falls nötig
Hauptvektoren) und spaltenweise Anordnung dieser als Matrix T
3.Schritt: Berechnung von T^(-1)
4.Schritt: Berechnung von T^(-1) AT und erkennen der Jordanblöcke
A^~_1 ,..., A^~_n
5.Schritt: Berechnung von e^(At) nach der Formel:
e^(At) = T*diag(e^(A^~_1 t),...,e^(A^~_n t))*T^(-1)
und für dich sogar noch Schritt 6:
Bestimmung der WronskiDeterminante durch Lösen der DGL
w^* = [spur A(t)]*w
Gruß,
BiBa
\mixoff
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2004-01-18
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Hallo Biba
im 3.Schritt hab ich ein Problem:
Sieht die Matrix der Eigenvektoren so aus:
T=(1,1,1,1;-1,2,2,2;1,4,4,4;-1,8,8,8)
wenn ja, dann ist das doch eine singuläre Matrix,
die nicht invertierbar ist ????
HeyDee
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Biba
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 08.05.2003
Mitteilungen: 77
| Beitrag No.8, eingetragen 2004-01-18
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Hi,
nein T sieht nicht so aus, denn du kannst nicht einfach den Eigendvektor von \l = 2 dreimal nebeneinander schreiben.
Du kannst den benötigten Hauptvektoren bestimmen, indem
du das inhomogene Gleichungssystem:
(A- \l E)w = v , also
A*(x_1;x_2;x_3;x_4) = (1;2;4;8)
löst.Hierdurch erhälts du einen weitere Eigenvektor zu \l = 2
und diesen wieder als Inhomogenität betrachtet solltest du einen dritten bekommen.
Kommst du so weiter?
Gruß,
BiBa
\mixoff
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2004-01-18
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Hallo
ist das jetzt die richtige Matrix für T:
T=(1,1,1/2,1/4;-1,2,1,1/2;1,4,2,1;-1,8,4,2) ??
HeyDee
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Biba
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 08.05.2003
Mitteilungen: 77
| Beitrag No.10, eingetragen 2004-01-18
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Wenn du jetzt die Inverse zu T berechnest und dann das Produkt
T^-1*A*T berechnest und die Jordannormalform rauskommt ja ;P
Gruß,
BiBa
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2004-01-18
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Hallo
diese Matrix lässt sich aber leider auch nicht invertieren, weil sie
singular ist ???
HeyDee
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Biba
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 08.05.2003
Mitteilungen: 77
| Beitrag No.12, eingetragen 2004-01-18
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Moment, du hast beim bestimmen der restlichen zwei Eigenvektoren
zu \l = 2 einen Fehler gemacht. Diese müssen natürlich linear unabhängig zu (1;2;4;8) sein!
Gruß,
BiBa
\mixoff
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2004-01-18
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Hallo
ok, wenn ich dich richtig verstanden habe, bekomme ich die restlichen
2 EV zu \lambda=2 so:
A*(x_1;x_2;x_3;x_4)=(1;2;4;8)
EV hier ist (1/2;1;2;4)
A*(x_1;x_2;x_3;x_4)=(1/2;1;2;4)
EV hier ist (1/4;1/2;1;2)
Oder hab ich das falsch interpretiert ???
HeyDee
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Biba
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 08.05.2003
Mitteilungen: 77
| Beitrag No.14, eingetragen 2004-01-18
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Vorsicht! Nicht A sondern (A-2E)*X = (1,2,4,8)^T
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2004-01-18
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So:
(-2,1,0,0;0,-2,1,0;0,0,-2,1;8,-4,-6,3)*(x_1;x_2;x_3;x_4)=(1;2;4;8)
?????
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Biba
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 08.05.2003
Mitteilungen: 77
| Beitrag No.16, eingetragen 2004-01-18
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2004-01-18
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hab jetzt für den zweiten Vektor von \lambda=2 raus:
x_1=-3/2+(1/8)\mue
x_2=-2+(1/4)\mue
x_3=-2+(1/2)\mue
x_4=\mue
????
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LutzL
Senior
Dabei seit: 06.03.2002
Mitteilungen: 10094
Wohnort: Berlin-Mahlsdorf
| Beitrag No.18, eingetragen 2004-01-19
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Aehm, was macht ihr da gerade?
die Loesung laesst sich an der oberen ablesen, die allgemeine Loesung einer linearen Dgl ist
y=C_1*y_1+C_2*y_2+...+C_n*y_n
Vergleichen, ableiten, in Matrix einsetzen (das ist dann eine, in der Funktionen in t drinstehen), Determinante nach allen Regeln der Kunst ausrechnen, d.h. auch Spaltenfaktoren nach draussen ziehen,...
Ciao Lutz
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Ehemaliges_Mitglied hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Ehemaliges_Mitglied hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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