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Funktionentheorie » Integration » Heavisidefunktion, Residuensatz
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Universität/Hochschule Heavisidefunktion, Residuensatz
thyme
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  Themenstart: 2011-11-22

Hi, ich versuche gerade zu beweisen, dass man die Heaviside-Funktion so darstellen kann: \Theta(t)=i/(2\pi) int(e^(-ixt) / (x+i\epsilon),x,-\inf,\inf) Man verwendet ja einfach den Residuensatz. Mein Problem ist dabei: In welcher Halbebene soll ich das komplexe Integral schließen? Der Pol liegt nun mal immer in der unteren Halbebene. Daher müsste ich doch eigentlich immer den Weg in der unteren Halbebene schließen. Leider kommt immer 1 raus. Man meinte zu mir, dass man das von dem Vorzeichen von t abhängig machen muss. Ich verstehe aber gerade überhaupt nicht wieso? t hat mit dem Pol doch rein gar nichts zu tun und der Pol ist immer in der unteren Halbebene.


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ElMachete
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  Beitrag No.1, eingetragen 2011-11-22

Hallo thyme Die Exponentialfunktion ist wesentlich für das Verschwinden des Integrals entlang des schliessenden Bogens. Für welche t musst du über die untere/obere Halbebene gehen um dies zu erzwingen? Cheers DOminik


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rlk
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  Beitrag No.2, eingetragen 2011-11-22

Hallo Thyme, damit Du den Residuensatz anwenden kannst, musst Du den Integrationsweg, der ja zunächst entlang der reellen Achse verläuft, zu einem geschlossenen Weg ergänzen. Bei geeigneter Wahl des "Rückwegs" hat das Integral über diesen den Wert Null. Dabei spielt das Vorzeichen von t eine entscheidende Rolle. Überlege Dir dazu, wie der Integrand auf der imaginären Achse verläuft. Ich hoffe, das hilft Dir, Roland [Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]


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thyme
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2011-11-22

Danke für die Antwort. Hm, ich dachte, da diese Exponentialfunktion sowieso oszilliert ist es gerade egal welche Weg ich gehe... Ok, also für t<0 muss ich wohl oben rum und dann ist das Integral 0, da keine Pole umschlossen sind. Aber warum das Integral für t<0 nur obenrum verschwindet will mir gerade nicht ganz klar werden... [Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]


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ElMachete
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  Beitrag No.4, eingetragen 2011-11-22

Setze mal eine geeignete Parametrisierung für das Bogenintegral ein, dann solltest du sehen wo die Problemzone liegt.


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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
lalala0000
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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-12-02

Beschäftige mich gerade mit derselben Frage und leider ist mir noch nicht vollkommen klar, wieso das gelten muss... Könnte mir vlt jemand helfen? Liebe Grüße


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rlk
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  Beitrag No.6, eingetragen 2021-12-02

Hallo lalala0000, wie sieht die Funktion $x \mapsto \exp(-i x t)$ für rein imaginäre Werte von $x$ aus? Welche Rolle spielt das Vorzeichen von $t$ dabei? Servus, Roland


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