Die Mathe-Redaktion [Home] - Neues auf einen Blick 10.06.2023 19:45 [Neues] [Forum] [Suche] - Registrieren/Login
 
Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von mire2 StrgAltEntf
Logik, Mengen & Beweistechnik » Induktion » Vollst. Induktion ?
Autor
Kein bestimmter Bereich Vollst. Induktion ?
charon
Ehemals Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 25.07.2002
Mitteilungen: 45
  Themenstart: 2002-08-12

Hallo Leutz ! Ich habe folgendes mit vollst. Induktion zu beweisen: 1²+2²+...+n²=n*(n+1)(2n+1)/6 Es ist also zu zeigen: 1²+2²+...n²+(n+1)²=(n+1)*((n+1)+1)(2(n+1)+1)/6 Bin nun soweit: -> n(n+1)(2n+1)+6(n+1)(n+1)/6 Wie kann man diesen Bruch so umformen, dass man den zu zeigenden Bruch "erkennt" ??? Danke Euch

   Profil
Spooky
Ehemals Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 11.07.2002
Mitteilungen: 149
Wohnort: Nürnberg
  Beitrag No.1, eingetragen 2002-08-12

Hi charon! du hast die Ind.vorraussetzung: åi=1n i2 = n(n+1)(2n+1)/6 nun würd ich mir kurz aufschreiben, was bei eingesetztem n+1 in der Endformel zusammengefasst raus kommen muss: (n+1)(n+2)(2n+3)/6 ok, nun beginn mit dem Umformung: åi=1n+1 i2 = åi=1n i2 + (n+1)2 = n(n+1)(2n+1)/6 + (n+1)2 = [n(n+1)(2n+1) + 6(n+1)2]/6 = (n+1)[(2n2+n) + (6n+6)]/6 = (n+1)(2n2+7n+6)/6 = (n+1)(n+2)(2n+3)/6 = (n+1)((n+1)+1)(2(n+1)+1)/6 beim Schritt von 2n2+7n+6 auf (n+2)(2n+3) sich einfach die erste Klammer hinschreiben (n+2) [die man ja schon kennt s. oben], und dann entsprechend die 2. sinnvoll ergänzen... dann noch testen ob das mittlere Glied auch passt. (3n+4n = 7n) Gruss Spooky "Verdana">"Programming today is a race between software engineers striving to build bigger and better idiot-proof programs, and the Universe trying to produce bigger and better idiots. So far, the Universe is winning." [ Nachricht wurde editiert von Spooky am 2002-08-12 15:31 ]

   Profil
charon
Ehemals Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 25.07.2002
Mitteilungen: 45
  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2002-08-12

Danke ! Klar und verständlich :-)

   Profil
Zahlenteufel
Senior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 14.07.2002
Mitteilungen: 1096
Wohnort: Essen
  Beitrag No.3, eingetragen 2002-08-12

Hallo, als erstes forme ich den Ergebnisterm um. (n+1)*((n+1)+1)(2(n+1)+1)/6 = (n+1)*(n+2)*(2n+3)/6 Aus dem Bruch, den du raus hast, kann man (n+1) ausklammern und man erhält: (n+1)(n(2n+1)+6(n+1))/6 n(2n+1)+6(n+1) kann man ausmultiplizieren und man erhält: 2n2 +n+6n+6= 2n2 +7n+6 Aus diesem Term kann man (n+2) ausklammern. Polynomdivision liefert: (2n2 +7n+6)/(n+2)=2n+3 -(2n2 +4n) -----------------------------                             3n+6                              -(3n+6)                              --------                                   0 Daraus folgt, dass dein Bruch gleich  (n+1)*(2n+1)*(2n+3)/6 ist. q.e.d Gruß Zahlenteufel

   Profil
charon hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.

Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2023 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]