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 Freier Fall - genauer hingeschaut?! |
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colajunge
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 24.11.2009
Mitteilungen: 31
 |  Themenstart: 2012-03-08
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Hallo,
Mein Problem:
Der freie Fall. In der Formel für den "Ortsfaktor" wie ich in der Schule gelernt und bei Wikipedia verifiziert habe ist ja:
\
g=MG / r^2
wobei r den Abstand zum Erdmittelpunkt bezeichnet. Aber im freien Fall ändert sich dieser doch, also kann man genau genommen( auch komplett im Vakuum) nicht von einer "gleichmässig beschleunigten" Bewegung reden, oder?
Ich habe mal probiert die so entstehende Differentialgleichung für die Höhenfunktion s(t) mit Starthöhe s_null aufzustellen:
\
s(t) = s_0 - int(int(GM / (s_o - s(x) )^2 ,x,0,y),y,0,t)
oder 2mal abgeleitet:
\
s^(2) = GM / (s_0 - s)^2 mit s(0)=s_0 und s^(1)(0)=0
Ist diese Überlegung so richtig hergeleitet? Wenn ja, gibt es, bzw. kennt jemmant eine Lösung dieser DGL?
Achso: G,M sind konstanten , die mich hier jetzt wenig interessieren... ebenso reicht mir Startgeschwindigkeit 0 und die Anschauung der Erde als Punktmasse...ich bin kein Physiker, also sorry falls alles crap ist ;)
mfg colajunge
[ Nachricht wurde editiert von colajunge am 08.03.2012 01:49:38 ]
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 Profil
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TomS
Senior 
Dabei seit: 18.10.2008
Mitteilungen: 2819
Wohnort: Nürnberg
 | Beitrag No.1, eingetragen 2012-03-08
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Zunächst mal ist deine Überlegung korrekt, der Ortsfaktor in einem 1/r Potential ist nicht konstant.
Man kann ein Potential
1/r = 1/(r_0 + h) = 1/(r_0(1 + h/r_0))
in eine Taylorreihe in h/r_0 um h=0 entwickeln; r_0 entspricht dem Erdradius und h der Höhe über dem Erdboden. Der Term nullter Ordnung entspricht einer irrelevanten Konstanten. Aus dem Term linear in h/r_0 erhält man wieder denm Ortsfaktor. Für kleine h/r_0 << 1 also für kleine Höhen h ist diese Näherung ausreichend.
Zur Lösung der Bewegungsgleichung. Man würde hier keine DGL zweiter Ordnung betrachten, sondern (wie fast immer) bei Existenz einer erhaltenen Gesamtenergie folgenden Ansatz für eine DGL erser Ordnung machen
E = m/2 (r^*)^2 + U(r)
r^* = dr/dt
Man wendet Separation der Variablen an, d.h. man löst man nach dt auf
m/2 (dr/dt)^2 = E - U(r)
dr/dt = sqrt(2/m) sqrt(E - U)
dt = sqrt(2/m) * dr/sqrt(U - E)
und integriert beide Seiten separat über dt bzw. dr.
t = sqrt(2/m) int(dr'/sqrt(U(r') - E),,r_a,r)
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