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  y''+y+ay^3=0 |
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Radix
Senior 
Dabei seit: 20.10.2003
Mitteilungen: 6438
Wohnort: Wien
 |  Themenstart: 2012-04-28
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Hallo!
y''+y+\epsilon\.y^3=0 | | | y(0)=1 | | | y'(0)=0
Gesucht ist aber nicht die genaue Lösung y(t,\epsilon) sondern eine Approximation
y(t,\epsilon)=y_0(t)+\epsilon\.y_1(t)+O(\epsilon^2)
Laut Vorlesung ist
y_0(t)=y(t,0)
y_1(t)=(y_\epsilon)(t,0)
Als y_0 erhalte ich cos(t), aber als Differentialgleichung für y_1:
(y_1)''=y_1+cos^3(t) | | | y_1(0)=0 | | | y'_1(0)=0
Wenn das stimmt, wäre y_1 sehr kompliziert. Kann jemand bestätigen, dass (y_1)''=y_1+cos^3(t) die richtige DGL ist? Gehe ich richtig in der Annahme, dass es keine DGL 1. Ordnung für y_1 gibt?
Danke,
Radix
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haerter
Senior 
Dabei seit: 07.11.2008
Mitteilungen: 1746
Wohnort: Bochum
 | Beitrag No.1, eingetragen 2012-04-28
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Hallo,
das sieht ok aus. Mit Variation der Konstanten kann man jetzt noch $y_1$ berechnen, aber etwas mühevoll wird das wohl tatsächlich werden...
Viele Grüße,
haerter
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Radix
Senior
Dabei seit: 20.10.2003
Mitteilungen: 6438
Wohnort: Wien
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2012-04-29
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Danke für deine aufmunternden Worte, haerter, die mich motiviert haben, weiterzurechnen.
Danke,
Radix
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haerter
Senior
Dabei seit: 07.11.2008
Mitteilungen: 1746
Wohnort: Bochum
| Beitrag No.3, eingetragen 2012-04-29
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Hallo,
nur zur Ergänzung: Dieses Entwickeln nach Potenzen von $\varepsilon$ führt dazu, dass man statt einer nichtlinearen DGL nur (viele) lineare DGL mit verschiedenen Inhomogenitäten lösen muss, um die Lösung im Idealfall beliebig genau zu approximieren. Meist tut man das aber nicht explizit, sondern "im Prinzip" und rechnet dann mit $y_1, y_2,\dots$ irgendwie weiter, ohne diese explizit berechnet zu haben. Oft genügt es zum Beispiel, deren asymptotisches Verhalten zu kennen.
Viele Grüße,
haerter
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Wally
Senior
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 9774
Wohnort: Dortmund, Old Europe
 | Beitrag No.4, eingetragen 2012-04-29
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Hallo, Radix,
etwas leichter rechnet man mit
cos^3(x)=1/4 (cos(3x)+3 cos(x))
Wally
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Radix
Senior
Dabei seit: 20.10.2003
Mitteilungen: 6438
Wohnort: Wien
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2012-04-29
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Danke, haerter und Wally. So habe ich es auch gemacht.
Gruß,
Radix
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Radix hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Radix hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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