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Gewöhnliche DGL » Nichtlineare DGL 2. Ordnung » Ljapunovfunktion für DGL 2. Ordnung
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Universität/Hochschule J Ljapunovfunktion für DGL 2. Ordnung
Radix
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 20.10.2003
Mitteilungen: 6438
Wohnort: Wien
  Themenstart: 2012-05-20

Hallo! \frame\ y''+g(y)=0 g(0)=0 x*g(x)>0 für x!=0 Man finde eine Ljapunovfunktion.\frameoff Zuerst habe ich das in ein System 1. Ordnung verwandelt: y_1:=y | | | y_2:=y' (y_1^';y_2^')=(y_2;-g(y_1)) Für eine Ljapunovfunktion V wäre ja nötig: grad(V)*(y_2;-g(y_1))<=0 1. Idee: Mit grad(V)=(0;y_1) wäre das z. B. leicht zu erfüllen, aber da gibt es doch kein V dafür. 2. Idee: V=y_1*y_2 führt auf grad(V)=(y_2;y_1), was aber die Ungleichung i. A. nicht erfüllt. 3. Idee: grad(V)=(-y_2;y_1) erfüllt die Ungleichung, da gibt es aber wieder kein V dafür. Hat jemand eine andere Idee? Danke, Radix

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Radix
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 20.10.2003
Mitteilungen: 6438
Wohnort: Wien
  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2012-05-20

Wenn ich zu Fuß unterwegs bin, kommen mir die besten Ideen: V(y_1,y_2)=G(y_1)+1/2\.y_2^2 mit G Stammfunktion von g Gruß, Radix

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Mathador111
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Mitteilungen: 1098
Wohnort: Köln, Deutschland
  Beitrag No.2, eingetragen 2012-05-20

Hallo Radix ! Ich hatte mal eine ähnliche Aufgabe: Gegeben: g stetig differenzierbar, g(0)=0, x*g(x)<0, dann ist x == 0 die einzige stationäre Lösung der autonomen Gleichung x^** = g(x). Beh: die Lösung ist stabil. Transformiere x^** = g(x) <=> x^* = y y^* = g(x) Betrachte V(x,y) = 1/2*y^2 - int(g(s),s,0,x) und prüfe Voraussetzungen der Lyapunov-Funktion. Es gilt V \el C^1 und V(0,0)=0. Weiter V(x,y)>0 für alle (x,y)!=(0,0), weil 1. 1/2*y^2 positiv 2. int(g(s),s,0,x) < 0 , wegen x*g(x)<0 muss g(x)<0 gelten. Es gilt V^* = grad(V(x,y))*f(x,y)=(-g(x),y)*(y;g(x))=-g(x)*y+g(x)*y=0 => x==0 stabil. Dein V ist also goldrichtig smile [ Nachricht wurde editiert von Mathador111 am 20.05.2012 17:58:33 ]

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Radix
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2012-05-20

Danke, Mathador! Gruß, Radix

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Radix hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Radix hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

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