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  Eigenwertproblem / Jacobi-Rotation |
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cryptonomicon
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 22.08.2003
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 |  Themenstart: 2004-02-03
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moin!
es ist doch immer wieder erstaunlich, wie die herren professoren auf die tollsten aufgaben kommen, vor denen manche studenten dann sitzen und so völlig überhaupt nichts damit anfangen können ..
hier mal eine ganz kurze problembeschreibung:
es sei eine menge von punkten im IR^3 gegeben. dann soll die ebene
Ax + By + Cz + D = 0
gefunden werden, so dass die summe der quadrate der abstände der gegebenen punkte bis zur ebene am kleinsten wird.
hört sich gut an, ist auch sehr verständlich. nur, die aufgabe soll auf ein eigenwertproblem umgepfriemelt und dann mittels jacobi-rotation gelöst werden.
was haben denn eigenwerte bitteschön mit ner abstandsberechnung zu tun?
mir fehlt hier total der zusammenhang 
nette grüße,
cryptonomicon
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Buri
Senior 
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 46882
Wohnort: Dresden
 |  Beitrag No.1, eingetragen 2004-02-03
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Hi cryptonomicon,
du schreibst:
>>> was haben denn eigenwerte bitteschön mit ner
>>> abstandsberechnung zu tun?
Das frage ich mich auch. Das Jacobi-Verfahren ist ein Näherungsverfahren, es liefert die Lösung durch Iteration, d. h. prinzipiell in unendlich vielen Schritten. Hier findest du was dazu.
Dein Problem könnte dagegen in endlich vielen Schritten gelöst werden, Stichworte: Normalgleichungen, QR-Zerlegung.
Gruß Buri
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cryptonomicon
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 22.08.2003
Mitteilungen: 607
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2004-02-03
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hallo buri!
wow, du programmierst? vielleicht auch zufällig in fortran?
ist das programm von deinem link die jacobi-givens-rotation oder jacobi in standardform? ich hatte nämlich so schön ein programm fertig und dann sagte mein prof: nein nein, das ist der falsche jacobi. ich meinte den anderen ... *GRRR*
vielleicht fällt noch wem anders ein, wie man mit hilfe von eigenwerten, bzw. -vektoren die aufgabe angehen kann?!
nette grüße,
cryptonomicon
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cryptonomicon
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 22.08.2003
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| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2004-02-05
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.. oder weiß jemand, wie Eigenvektoren allein für sich geometrisch zu deuten sind? Es muss doch einen Sinn haben, wieso man sooft das Berechnen von Eigenwerten und -vektoren übt. google wollte mir bisher nichts Vernünftiges dazu hergeben ..
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cryptonomicon
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2004-02-10
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Buri
Senior
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 46882
Wohnort: Dresden
| Beitrag No.5, eingetragen 2004-02-11
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Hi cryptonomicon,
meinen Einwand bezüglich der Aufgabe muß ich zurücknehmen. Es ist ein Eigenwertproblem. Man muß den Normalenvektor u der gesuchten Ebene und eine Zahl d finden, die bis auf das Vorzeichen den Abstand der Ebene vom Nullpunkt angibt. Falls man u als Einheitsvektor nimmt, dann lautet die Aufgabe:
Finde u\el R^3 und d\el R mit sum(u^T p_i-d)^2 = Min!.
Man sieht leicht, dass d so sein muß, dass die Ebene durch den Schwerpunkt s des Punktesystems gehen muß, dann vereinfacht sich die Funktion zu
sum((u^T (p_i-s))^2)=sum(u^T (p_i-s) (p_i-s)^T\. u)
=u^T\. sum((p_i-s)(p_i-s)^T) u.
Bekanntlich ist das Minimum von u^T A u für die symmetrische Matrix
A = sum((p_i-s)(p_i-s)^T), genommen über alle Vektoren u vom Betrag 1,
gleich dem kleinsten Eigenwert von A. u ist dann ein zugehöriger Eigenvektor der Länge 1.
So hab ich das also "auf ein Eigenwertproblem umgepfriemelt".
Gruß Buri
[ Nachricht wurde editiert von Buri am 2004-02-11 11:39 ]
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cryptonomicon
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2004-02-11
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Hallo Buri!
Vielen Dank für deinen Einfall! Ich wär noch daran verzweifelt ..
Dann werde ich mich nächste Woche intensiver damit beschäftigen und dich mit Fragen löchern, wenn mir was unklar ist
nette Grüße,
cryptonomicon
*vorerst_abhak*
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cryptonomicon hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
cryptonomicon hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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