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Funktionentheorie » Holomorphie » Holomorphe Funktion auf der Einheitskugel
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Universität/Hochschule J Holomorphe Funktion auf der Einheitskugel
lisa-mainhard
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  Themenstart: 2012-11-08

Hallo, ich möchte gerne beweisen, dass es keine holomorphe Funktion f auf der Einheitskugel um den Punkt 0 mit Radius 1 [Schreibweise: K(0,1)] gibt, für die gilt: abs(f(1/n)) <= e^(-n). Ich habe das bewiesen, indem ich das Gegenteil angenommen habe und einen Widerspruch herbeigeführt: Angenommen, so ein f existiert. Es gilt: lim(n->\inf,abs(f(1/n))) <=lim(n->\inf,e^(-n)) = 0, also geht f(1/n) gegen 0 für n gegen \inf, d.h. es muss f(0)=0 gelten. Da f nach Annahme holomorph in der Einheitskugel ist, besitzt f eine Potenzreihenentwicklung, das heißt, es existiert eine in K(0,1) holomorphe Funktion g!=0, so dass gilt: f(z)=z^k*g(z) mit k>0 und g(0)!=0. Dann gilt: abs(f(1/n)) = abs(1/n^k * g(1/n)) <= e^(-n), daher ist abs(g(1/n)) <= n^k * e^(-n). Aber lim(n->\inf,n^k * e^(-n)) = 0, denn die Exponentialfunktion wächst schneller als jedes Polynom. Daher gilt: g(0)=0. Widerspruch. Daher folgt: Ein f mit obigen Eigenschaften existiert nicht. Wo ich mir im Beweis nicht ganz sicher war, war die Stelle, ob man das g wirklich so wählen kann. Es wäre nett, wenn ihr mir sagen würdet, ob mein Beweis richtig ist oder nicht. Danke! Viele Grüße, Lisa


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Redfrettchen
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  Beitrag No.1, eingetragen 2012-11-08

Hallo, ja, dein Beweis ist richtig. Aber warum bist du dir unsicher, ob es so ein g gibt? Grüße, Thomas


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lisa-mainhard
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2012-11-08

Hallo, vielen Dank! Ich war mir zunächst unsicher, ob man das g so wählen darf, dass g(0)!=0 gilt. Aber mir ist es jetzt klar. Viele Grüße Lisa


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gmkwo
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  Beitrag No.3, eingetragen 2012-11-08

Hallo, die Größe des Kreises (o. Kugel) ist gar nicht wichtig. Das ist als eine Aussage über das mögliche Wachstum holomorpher Funktionen zu verstehen. Und f=0 ist übrigens eine holomorphe Funktion die die geforderte Ungleichung erfüllt.


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Redfrettchen
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  Beitrag No.4, eingetragen 2012-11-08

Guter Punkt, man muss die Nullfunktion ausschließen.


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