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| Autor |
  Eingeschlossene Fläche unter der x-Achse berechnen |
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Chris91
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 15.03.2011
Mitteilungen: 1115
 |  Themenstart: 2012-11-10
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Hallo,
Aufgabe: Berechnen Sie die Fläche, die die Funktion
f(x)=x^3-9x^2+24x-20
mit der x-Achse einschließt. Fertigen Sie zur besseren Übersicht zunächst eine Zeichnung an.
Zunächst die Zeichnung:
Wie man sieht, wird die Fläche, die von der Funktion unter der x-Achse eingeschlossen ist von einer Nullstelle bei ca. x=2 in zwei Teile aufgeteilt. Es heißt ja ,,Nicht über Nullstellen hinweg integrieren!". Das muss also beachtet werden?
Also teile ich zunächst die Fläche in zwei Teile auf, berechne sie und addiere sie schließlich. Dazu müsste ich zunächst die Nullstellen bestimmen, denn ich weiß nicht genau ob die eine Nullstelle tatsächlich genau auf x=2 liegt.
Ist das der richtige Weg? Wenn ja, die Rechnungen habe ich schon vorgefertigt.
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cryptonize
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 11.03.2009
Mitteilungen: 1503
 | Beitrag No.1, eingetragen 2012-11-10
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Hallo,
ich verstehe dass so:
Bestimme die Nullstellen x_1 und x_2 und integriere dann f von x_1 bis x_2.
x_1 sollte eine doppelte Nullstelle sein (zumindest nach der Zeichnung)
Grüße Cryp
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Rebecca
Senior
Dabei seit: 18.07.2002
Mitteilungen: 6459
Wohnort: Berlin
 | Beitrag No.2, eingetragen 2012-11-10
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f(x)=x^3-9x^2+24x-20=(x-2)^2*(x-5)
Bei dieser Funktion kannst du über die Nullstelle bei x=2 hinwegintegrieren, da die Funktion im Bereich 0<=x<=5 komplett unterhalb der x\-Achse verläuft.
int(f,x,0,2)=-12
int(f,x,2,5)=-27/4
int(f,x,0,5)=-75/4
Gruß
Rebecca
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Chris91
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 15.03.2011
Mitteilungen: 1115
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2012-11-10
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Gut, dass du das erwähnst, ich hatte einen heftigen Denkfehler drin. Also geht es hier nur um eine Fläche, okay. Eine Nullstelle erkennt man deutlich, bei x=5, habe ich aber auch erraten, also kommt meine heißgeliebte Polynomdivision zum Einsatz um die beidne übrigen Nullstellen herauszufinden:
f(x)=(x^3-9x^2+24x-20):(x-5)=x^2-4x+4
Die genaue Rechnung kann ich nicht vernünftig untereinander schreiben, Ergebnis stimmt aber.
x_2,3=-(-4/2)+-sqrt((4/2)-4)
x_2=2 und x_3=2
Nullstellen sind also 5 und 2 und 2
Die Fläche liegt also im Intervall intervall(2,5)
int(f,x,a,b)=int(f,(x^3-9x^2+24x-20),2,5)=stammf(1/4 x^4-3x^3+12x^2-20x,2,5)
=-6.75
A=abs(-6.75)
edit: @Rebecca: Deinen Beitrag sehe ich erst jetzt. Aber es heißt doch, dass die Funktion und die x-Achse die Fläche einschließen. Nach deiner Zeichnung müsste ja auch die y-Achse am Einschließen beteiligt sein, so dachte ich aber auch ursprünglich.
edit: Fläche ist -6.75. Wurde geändert.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]
[ Nachricht wurde editiert von Chris91 am 10.11.2012 22:56:27 ]
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Rebecca
Senior
Dabei seit: 18.07.2002
Mitteilungen: 6459
Wohnort: Berlin
| Beitrag No.4, eingetragen 2012-11-10
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Du hast Recht, gemeint ist wohl die Fläche im Intervall intervall(2,5)
ACHTUNG: \red rot \black markierter Tippfehler
int(f,x,a,b)=int(f,(x^3-9x^2+24x-20),2,5)=stammf(\red 1/4*x^4\black-3x^3+12x^2-20x,2,5)
=-6.75
A=abs(-6.75)
Gruß
Rebecca
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Chris91
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 15.03.2011
Mitteilungen: 1115
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2012-11-10
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Schon gut, hier stand Schwachsinn, ich war wo anders. Tippfehler berichtigt.
[ Nachricht wurde editiert von Chris91 am 10.11.2012 22:58:44 ]
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Tetris
Senior 
Dabei seit: 28.08.2006
Mitteilungen: 7818
 | Beitrag No.6, eingetragen 2012-11-11
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Spricht etwas dagegen, f(2)=f'(2)=0 nachzurechnen, zumal wenn man die Funktion auch an der Stelle x=2 zeichnen möchte?
Lg, T.
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Chris91 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Chris91 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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