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| Autor |
 Approximation im quadratischen Mittel/gleichmäßige Konv |
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Jordan
Junior 
Dabei seit: 02.02.2004
Mitteilungen: 10
 |  Themenstart: 2004-02-15
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Hallo!
Ich begreife leider folgendes nicht:
Wie unterscheiden sich Approximation im quadratischen Mittel und gleichmäßige Konvergenz?
Ich weiß zwar, dass aus gleichmäßiger Konvergenz auf einem kompakten Intervall die Konvergenz im quadratischen Mittel folgt;
aber irgendwie verstehe ich die Zusammenhänge nicht!
Vielleicht könnt ihr mir ja helfen!
Liebe Grüße,
Jordan
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 Profil
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Buri
Senior 
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 46882
Wohnort: Dresden
 | Beitrag No.1, eingetragen 2004-02-17
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Hi Jordan,
das Wesentliche zu dem Thema hast du bereits gesagt.
Man betrachtet die Menge C der stetigen Funktionen einerseits und die Menge L2 der Funktionen, die im Quadrat integrierbar sind, andererseits, als Vektorräume. Da ihre Elemente Funktionen sind, spricht man auch von Funktionenräumen.
Die Begriffe "gleichmäßige Konvergenz" und "gleichmäßige Approximation" haben ihre natürliche Heimat im Raum C, den Abstand zweier Funktionen f,g aus C kann man durch die Zahl
d(f,g)=norm(f - g)=max(a<=x<=b,abs(f(x)-g(x)))
definieren. Die Zahl ||f - g|| wird als die Norm der Differenz bezeichnet, C ist ein normierter Raum.
Der Vorteil dieses Begriffes liegt darin, dass die Aussagen
"die Funktionenfolge fn konvergiert gleichmäßig gegen f" und
"die Zahlenfolge ||fn - f|| konvergiert gegen Null"
gleichbedeutend sind.
Gleichmäßige Approximation einer Funktion f durch Funktionen aus einer Menge K bedeutet, man sucht ein g aus K, so dass die Norm ||f - g|| minimal wird.
Wenn man statt der Norm, die ich bisher betrachtete, diese nimmt:
d(f,g)=norm(f-g)_2=sqrt(int(abs(f(x)-g(x))^2,x,a,b)),
dann kann man alles genauso machen, nur eben mit dem neuen Abstand.
Zur Unterscheidung von der ersten Norm (der "Maximum-Norm", die man aus bestimmtem Gründen auch mit
norm(f-g)_\inf bezeichnet, habe ich diese Norm norm(f-g)_2 genannt.
"Die Funktionenfolge fn konvergiert im quadratischen Mittel gegen f" und
"die Zahlenfolge ||fn - f|| konvergiert gegen Null" sind dann äquivalente Aussagen.
Statt die Norm einer Differenz f - g zu betrachten (=Abstand zwischen f und g), kann man natürlich auch die Norm einer einzelnen Funktion nehmen, ||f|| ist dann der Abstand zwischen f und der Null(-funktion).
Es gibt einen Zusammenhang zwischen beiden Normen (die Tatsache, dass das betrachtete Intervall endlich, also beschränkt ist, ist wichtig):
norm(f)_2<=sqrt(b-a)*norm(f)_\inf\..
Diese Ungleichung ist überaus leicht zu zeigen.
Eine Ungleichung in umgekehrtem Sinn (mit festem Vorfaktor) gilt nicht.
Man sagt auch, die Norm norm(f)_\inf ist "stärker" oder "feiner" als norm(f)_2\.,
das ist der Grund dafür, dass die von dir erwähnte Aussage
f_n -> f gleichmäßig => f_n -> f im quadratischen Mittel
gilt.
Einen Zusammenhang zwischen den Lösungen gleichmäßiger Approximationsprobleme und Lösungen von Approximationsproblemen im Mittel gibt es nicht, das ist auch nicht zu erwarten.
Der Unterschied beider Approximationsarten besteht darin, dass bei der Approximation im Mittel evtl. auch große Abweichungen zwischen beiden Funktionen vorkommen dürfen, solange sie nur auf kleinen Intervallen auftreten. Bei der gleichmäßigen Approximation werden dagegen Funktionen, die auch nur an einer Stelle große Abweichungen zeigen, als "weit voneinander entfernt" angesehen, die gleichmäßige Approximation fordert, dass der kleinstmögliche Abstand an keiner Stelle überschritten wird.
Je nach den Forderungen, die in der praktischen Anwendung vorliegen, wird mal die eine, mal die andere Form der Approximation angepaßter sein.
Gruß Buri
[ Nachricht wurde editiert von Buri am 2004-02-17 14:57 ]
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