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 Abbildung ist eine injektive Immersion |
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huzein
Junior 
Dabei seit: 20.11.2012
Mitteilungen: 11
 |  Themenstart: 2012-11-27
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Hallo, ich habe die folgende Aufgabe zu lösen. Ich soll zeigen, dass die Abbildung
$f:\mathbb RP^2\to\mathbb R^4$
definiert durch
$f([x:y:z]):=\dfrac{1}{x^2+y^2+z^2}(yx,xz,xy,x^2+2y^2+3z^2)$
eine Einbettung ist, also eine injektive Immersion mit der Zusatzeigenschaft, dass $f:\mathbb RP^2\to f(\mathbb RP^2)$ ein Homöomorphismus ist.
Da ich mit $\mathbb RP^2$ schlecht rechnen kann, wähle ich mir zunächst eine Karte
$\varphi:U:=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3:x\neq0\}\subset\mathbb R^3\to \mathbb R^2$
definiert vermöge
$[x:y:z]\mapsto\varphi([x:y:z]):=\left(\dfrac yx,\dfrac zx\right)$ von $\mathbb RP^2$
(das geht mittels der Projektion $\pi:\mathbb R^3-\{0\}\to\mathbb RP^2$)
Dann ist $\varphi^{-1}$ gegeben durch
$\varphi^{-1}(y,z)=[1:y:z].$
Damit kann ich dann das Differantial von
$f\circ\varphi^{-1}:U\subset\mathbb R^2\to\mathbb R^4$
wie üblich, mittels der Jacobi-Matrix, berechnen.
Stimmt das denn soweit?
Danke und liebe Grüße,
huzein
[ Nachricht wurde editiert von huzein am 27.11.2012 18:44:24 ]
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Martin_Infinite
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Dabei seit: 15.12.2002
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2012-11-27
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Ja. Und auf den anderen Karten muss man das auch machen.
Die Glattheit von $f$ ist übrigens (vor allem in homogenen Koordinaten) klar, weil das eine gebrochen rationale Funktion ist. Das Rechnen in Karten muss man aber wohl machen, um zu zeigen, dass die Differentiale injektiv sind.
Die globalen Eigenschaften (injektiv, Homöomorphismus aufs Bild) muss man auch noch zeigen. Das geht am besten ohne Karten. Man kann außerdem den Homöomorphismus $S^2 / (\mathbb{Z}/2) \cong \mathbb{R}P^2$ vorschalten, dann wird die Abbildung einfach $f(x,y,z)=(yx,xz,xy,1+y^2+2z^2)$.
[ Nachricht wurde editiert von Martin_Infinite am 27.11.2012 12:52:59 ]
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huzein
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Dabei seit: 20.11.2012
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2012-11-27
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\quoteon(2012-11-27 12:31 - Martin_Infinite in Beitrag No. 1)
Ja. Und auf den anderen Karten muss man das auch machen.
[ Nachricht wurde editiert von Martin_Infinite am 27.11.2012 12:35:14 ]
\quoteoff
ist das nicht unabhängig von der Wahl der Karte und daher ausreichend, wenn das für eine Karte gezeigt wird?
\quoteon(2012-11-27 12:31 - Martin_Infinite in Beitrag No. 1)
Die Glattheit von $f$ ist übrigens (vor allem in homogenen Koordinaten) klar, weil das eine gebrochen rationale Funktion ist. Das Rechnen in Karten muss man aber wohl machen, um zu zeigen, dass die Differentiale injektiv sind.
Die globalen Eigenschaften (injektiv, Homöomorphismus aufs Bild) kann man auch noch (ohne Karten) zeigen.
[ Nachricht wurde editiert von Martin_Infinite am 27.11.2012 12:35:14 ]
\quoteoff
Die Injektivität habe ich bereits gezeigt, richtig, das geht ohne Karten. Auch dass $f$ ein Homöomorphismus auf sein Bild ist, ist klar, da $f$ glatt (was man noch zeigen müsste, wie du aber sagst, klar ist) und $\mathbb RP^2$ kompakt ist.
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Buri
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 | Beitrag No.3, eingetragen 2012-11-27
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\quoteon(2012-11-27 12:54 - huzein in Beitrag No. 2)
1. ist das nicht unabhängig von der Wahl der Karte und
2. daher ausreichend, wenn das für eine Karte gezeigt wird?
\quoteoff
Hi huzein,
1. Ja. Aber es gilt dann nur dort, wohin die Karte abbildet.
2. Nein. Man muß soviele Karten nehmen (evtl. unendlich viele, aber hier ist das nicht nötig), dass die Karten die Mannigfaltigkeit überdecken.
Mannigfaltigkeiten, bei denen das mit einzigen Karte geht, gibt es auch, aber die sind langweilig, für diese lohnt es sich nicht, den Begriff "Mannigfaltigkeit" einzuführen, das würde man dann eher "Einfältigkeit" nennen (das ist nicht ganz ernst gemeint!). 
Gruß Buri
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huzein
Junior
Dabei seit: 20.11.2012
Mitteilungen: 11
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2012-11-27
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\quoteon(2012-11-27 13:35 - Buri in Beitrag No. 3)
1. Ja. Aber es gilt dann nur dort, wohin die Karte abbildet.
\quoteoff
Da meine Karte, wie in Post#1 angegeben, auf ganz $\mathbb R^2$ abbildet, hab ich doch dann die Gültigkeit auf ganz $\mathbb R^2$ und bräuchte keine weiteren Karten mehr zu betrachten oder meinst du etwas anderes?
\quoteon(2012-11-27 13:35 - Buri in Beitrag No. 3)
2. Nein. Man muß soviele Karten nehmen (evtl. unendlich viele, aber hier ist das nicht nötig), dass die Karten die Mannigfaltigkeit überdecken.
\quoteoff
Denn sonst muss ich das ja für drei Karten berechnen. Das ist sehr aufwändig. Evtl. gibt es einen kürzeren Weg?
\quoteon(2012-11-27 13:35 - Buri in Beitrag No. 3)
...aber die sind langweilig, für diese lohnt es sich nicht, den Begriff "Mannigfaltigkeit" einzuführen, das würde man dann eher "Einfältigkeit" nennen (das ist nicht ganz ernst gemeint!). ;-)
Gruß Buri
\quoteoff
:)
Danke für eure beiden Antworten!
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Buri
Senior
Dabei seit: 02.08.2003
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Wohnort: Dresden
| Beitrag No.5, eingetragen 2012-11-27
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\quoteon(2012-11-27 13:57 - huzein in Beitrag No. 4)
1. Da meine Karte, wie in Post#1 angegeben, auf ganz $\mathbb R^2$ abbildet, hab ich doch dann die Gültigkeit auf ganz $\mathbb R^2$ ...
2. ... meinst du etwas anderes?
\quoteoff
Hi huzein,
1. das kann ja sein, aber es geht darum, ob die Karte die ganze Mannigfaltigkeit erfaßt, und das ist nicht der Fall.
Es muß bei dieser Karte übrigens x ≠ 0 heißen und nicht x = 0.
2. Ja, ich habe mich wohl unklar ausgedrückt.
Ich kann mir nicht genau merken, ob die Kartenabbildungen nun von der Mannigfaltigkeit in den euklidischen Raum abbilden oder umgekehrt.
Entscheidend ist nicht, ob es der ganze euklidische Raum ist (das läßt sich immer so einrichten), sondern ob es die ganze Mannigfaltigkeit ist, die von der Kartenabbildung betroffen ist, und dies läßt sich, wie ich schon schrieb, nur in "langweiligen" Fällen so einrichten.
Gruß Buri
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huzein
Junior
Dabei seit: 20.11.2012
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2012-11-27
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\quoteon(2012-11-27 12:31 - Martin_Infinite in Beitrag No. 1)
Man kann außerdem den Homöomorphismus $S^2 / (\mathbb{Z}/2) \cong \mathbb{R}P^2$ vorschalten, dann wird die Abbildung einfach $f(x,y,z)=(yx,xz,xy,1+y^2+2z^2)$.
[ Nachricht wurde editiert von Martin_Infinite am 27.11.2012 12:52:59 ]
\quoteoff
Meinst du vielleicht
$f(x,y,z)=(yx,xz,xy,1+2y^2+3z^2)$?
Und mit $S^2 / (\mathbb{Z}/2) \cong \mathbb{R}P^2$ meinst du vielleicht $ S^2/_\sim\cong\mathbb RP^2$, wobei $ x\sim y:\iff x=\pm y$ ?
Muss fragen, denn die Schreibweise $S^2 / (\mathbb{Z}/2)$ sagt mir erstmal nichts.
\quoteon(2012-11-27 14:04 - Buri in Beitrag No. 5)
1. das kann ja sein, aber es geht darum, ob die Karte die ganze Mannigfaltigkeit erfaßt, und das ist nicht der Fall.
Es muß bei dieser Karte übrigens x ≠ 0 heißen und nicht x = 0.
\quoteoff
Ja das sehe ich ein. Und x=0 war natürlich ein Tipfehler - ist korrigiert.
Gruß
[ Nachricht wurde editiert von huzein am 27.11.2012 18:46:38 ]
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Martin_Infinite
Senior
Dabei seit: 15.12.2002
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Wohnort: Münster
| Beitrag No.7, eingetragen 2012-11-27
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Ja, Z/2 wirkt auf S2 via z -> -z. Der Quotient ist dann wie von dir beschrieben.
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huzein
Junior
Dabei seit: 20.11.2012
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2012-11-27
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ok danke.
Ich habe mal noch eine Frage. Und zwar soll gezeigt werden, dass die Abbildung
$\pi:S^3\ni(z,w)\mapsto [z:w]\in\mathbb CP^1$
eine Submersion ist, also dass das Differential von $\pi$ für alle $ x\in S^3$ surjektiv ist.
Auch hier ist $\mathbb CP^1$ eklig und ich wähle mir eine Karte von $\mathbb CP^1$ nach $\mathbb C$, zB
$ \psi:U:=\{[z:w]\in\mathbb CP^1:z\neq0\}\subset\mathbb CP^1\ni [z:w]\mapsto \frac wz\in\mathbb C$
Dann kann ich also die folgende Abbildung untersuchen:
$\pi(z,w)=\dfrac wz$.
Wenn ich jetzt das Differential, also die Jacobi-Matrix ermittle, erhalte ich
$ J_\pi(z,w)=\left(\dfrac{-w}{z^2}\: \: \: \dfrac 1z\right)\in\mathbb C^{1\times 2}$
Öhhh kann doch nicht ganz stimmen, oder?
[ Nachricht wurde editiert von huzein am 27.11.2012 22:19:01 ]
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Martin_Infinite
Senior
Dabei seit: 15.12.2002
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Wohnort: Münster
| Beitrag No.9, eingetragen 2012-11-27
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Du musst auch in der S^3 Karten wählen, die zu den beiden Karten von CP^1 passen. [Eine reicht natürlich nicht!]
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huzein
Junior
Dabei seit: 20.11.2012
Mitteilungen: 11
| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2012-11-27
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\quoteon(2012-11-27 22:17 - Martin_Infinite in Beitrag No. 9)
Du musst auch in der S^3 Karten wählen, die zu den beiden Karten von CP^1 passen. [Eine reicht natürlich nicht!]
\quoteoff
könntest du das vielleicht etwas näher erläutern?
Also wenn ich eine Karte von S^3 wähle, welche dann in den R^3 abbildet, zB die Stereographische Projektion sollte das tun glaub ich, habe ich doch eine 3 x 2 -Matrix, mit reellen Koeffizienten wenn ich C mit R^2 identifiziere.. oder nicht?
[ Nachricht wurde editiert von huzein am 27.11.2012 22:30:19 ]
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