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 Vektorbündel über Kreis trivial |
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Physikerin
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 |  Themenstart: 2012-11-29
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Hallo zusammen,
Ein Vektorbündel über einem Kreis ist trivial.
Begründung: Man zerlege den Kreis in zwei Halbkreise. Diese sind zusammenziehbar also sind die Bündel auf den zwei Hälften trivial. Und daraus konstruiere man durch aneinanderkleben ein Vektorbündel.
Was genau ist mit aneinanderkleben gemeint?
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Hanno
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2012-11-29
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Hallo,
die Aussage stimmt so nicht - z.B. ist das Möbiusband als Vektorbündel über seinem Äquator aufgefasst nicht trivial [denn jeder Schnitt trifft den Äquator, i.e. hat eine Nullstelle].
Meinst Du vielleicht etwas anderes?
Lieber Gruß,
Hanno
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Martin_Infinite
Senior
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 | Beitrag No.2, eingetragen 2012-11-29
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Du kennst doch schon die Beschreibung von Vektorbündeln durch Übergangsfunktionen (Cech-Koyzkel). In dem Fall hier besteht der Schnitt der beiden Halbkreise aus zwei disjunkten Intervallen, auf denen die Übergangsfunktionen aber unabhängiges Vorzeichen haben können. Dasselbe Vorzeichen liefert das triviale Vektorbündel, verschiedenes Vorzeichen liefert das Möbiusband. Das spiegelt sich auch an der Kohomologie $H^1(S^1,\mathbb{Z}/2)=\mathbb{Z}/2$ wieder.
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
[Verschoben aus Forum 'Mathematik' in Forum 'Topologie' von Martin_Infinite]
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Physikerin
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| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2012-11-29
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Hallo zusammen,
Die beiden Halbkreise werden doch durch den Durchmesser halbiert, also ist der Schnitt dann nich nur ein Intervall?
Bei einer Kugel wäre es ja ein Kreis..oder?
Die Übergangsfunktionen kenne ich, und ich weiß, dass man auch mit ihnen einen Bündel konstruieren kann. Das braucht man hier?
Das mit den verschiedenen Vorzeichen habe ich noch nicht verstanden...
[ Nachricht wurde editiert von Physikerin am 29.11.2012 19:36:06 ]
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Martin_Infinite
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| Beitrag No.4, eingetragen 2012-11-29
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Der Durchschnitt besteht aus zwei Intervallen. Male es dir auf.
Und überlege dir mal, auf welche Weisen man zwei triviale Vektorbündel entlang von zwei Intervallen miteinander verkleben kann. Du wirst automatisch zu den Übergangsfunktionen kommen.
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Physikerin
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| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2012-11-29
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Da verstehe ich wohl etwas falsch, für mich sind das zwei Punkte, die die Halbkreise gemeinsam haben.
Auf die Übergangsfunktionen bin ich leider nicht gekommen...
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Martin_Infinite
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| Beitrag No.6, eingetragen 2012-11-30
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Zwei Punkte oder zwei Intervalle - das ist egal (weil homotopieäquivalent).
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Physikerin
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| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2012-12-01
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Hi,
Und wie kommt man dann auf die Übergangsfunktionen?
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Physikerin
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2012-12-05
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Achso, die Übergangsfunktionen sind äquivalent zur Identität ,oder?
[ Nachricht wurde editiert von Physikerin am 05.12.2012 09:06:29 ]
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Martin_Infinite
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| Beitrag No.9, eingetragen 2012-12-05
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Beim Möbiusband eben nicht.
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Physikerin
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| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2012-12-05
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Aber ein triviales Bündel hat doch immer die Identität als Übergangsfunktion bzw ist zu dieser Äquialent
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Martin_Infinite
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| Beitrag No.11, eingetragen 2012-12-05
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Physikerin
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| Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2012-12-05
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Ok ich streiche das aber 
Warum hast du das Möbiusband erwähnt, das ist sowieso nicht trivial...
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Martin_Infinite
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| Beitrag No.13, eingetragen 2012-12-05
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Ich dachte, du möchtest nun alle Übergangsfunktionen bestimmen?
Beschreibe doch einmal bitte deine verbleibenden Probleme klar und deutlich. Mache dir alle Definitionen und Begriffe noch einmal klar und gehe das für dich durch. Vielleicht kommen wir dann auf einen gemeinsamen Nenner.
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Physikerin
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| Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2012-12-05
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Ich verstehe nicht, wie ich aus Übergangsfunktionen auf den Intervallen dann plötzlich ein Vektorbündel auf dem ganzen Kreis erhalte und wieso ich überhaupt Übergangsfunktionen konstruieren muss. Die sind bei einem trivialen Bündel die Identität also auch den Intervallen wo sich die kreise schneiden, also muss ich nichts mehr konstruieren
[ Nachricht wurde editiert von Physikerin am 05.12.2012 15:22:15 ]
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Physikerin
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| Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2012-12-06
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Warum können Übergangsfunktionen Vektorbündel verkleben?
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Martin_Infinite
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| Beitrag No.16, eingetragen 2012-12-06
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Wie gesagt, wiederhole die Definitionen. Übergangsfunktionen geben genau an, wie je zwei triviale Vektorbündel miteinader verklebt werden. Jedes Vektorbündel ist per Definition aus trivialen Vektorbündeln verklebt, daher kann man es ja auch per Übergangsfunktionen beschreiben.
Im Fall $S^1$ mit der offenen Überdeckung $U_1,U_2$ aus zwei Halbkreisen, deren Schnittmenge $U_1 \cap U_2 = \{P_1,P_2\}$ aus zwei Punkten besteht, entsprechen Isomorphieklassen von Vektorbündeln auf $S^1$ also den Funktionen $\{P_1,P_2\} \to \mathbb{R}^*$, d.h. einfach zwei Elementen $a_1,a_2 \in \mathbb{R}^*$, modulo einer gewissen Äquivalenzrelation. Es legt $a_i$ fest, wie die beiden trivialen Bündel bei $P_i$ verklebt werden. Schreibe zur Übung das Vektorbündel auf $S^1$, welches dazu gehört, einmal ganz konkret hin. Ein weiteres Nachverfolgen der Definitionen liefert, dass $(a_1,a_2)$ genau dann zu $(b_1,b_2)$ äquivalent ist, d.h. isomorphe Vektorbündel ergeben, wenn $a_2/a_1$ und $b_2/b_1$ dasselbe Vorzeichen ergeben. Es gibt also nur zwei Äquivalenzklassen, nämlich $(1,1)$ (triviales Bündel) und $(1,-1)$ (Möbiusband).
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Physikerin
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| Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2012-12-06
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Hallo Martin,
Ich habe den trivialen Bündel über S1 aufgeschrieben
Warum entsprechen diese Isomorphie Klassen den Funktionen, die die oben definiert hast? Und wo werden in der Beweisskizze dann Übergangsfunktionen verwendet?
[ Nachricht wurde editiert von Physikerin am 06.12.2012 19:15:03 ]
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