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| Autor |
  Integral xlog(x) |
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kautschuck
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 29.09.2012
Mitteilungen: 202
Wohnort: Hamburg
 |  Themenstart: 2012-12-05
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Hallo,
wie löse ich folgendes Integral ab einfachsten:
$\int_0^1{xlogx dx}$ (Sollte ja -0.25 geben)
Ich kann ja vesuchen mit partieller Integration:
$\int logx dx = x(logx -1) + C$
Daraus folgt:
$\int_0^1{xlogx dx} = {[x^2(logx-1)]_0^1} - \int_0^1{x(logx -1)dx}$ =>
$2\int_0^1{xlogx dx} = {[x^2(logx-1)]_0^1} + \frac{x^2}{2}$
=>
$\int_0^1{xlogx dx} = [\frac{x^2(2logx -1)}{4}]_0^1$
Nun ist log0 = $-\infty$
Warum gibt dann $x^2 * (2log x -1) |_0 = 0?$
Gruss Bert
[ Nachricht wurde editiert von kautschuck am 05.12.2012 11:42:13 ]
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 Profil
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LutzL
Senior 
Dabei seit: 06.03.2002
Mitteilungen: 10094
Wohnort: Berlin-Mahlsdorf
 | Beitrag No.1, eingetragen 2012-12-05
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Hi,
Du hast irgendwie einen Faktor bei der Integration von x unterschlagen. Dass x*log(x) den Grenzwert 0 hat bei x gegen 0 ist eine übliche Übungsaufgabe zur Anwendung der l'Hopitalschen Regel.
Ciao Lutz
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oddnum
Junior
Dabei seit: 20.11.2012
Mitteilungen: 11
Wohnort: BRD
 | Beitrag No.2, eingetragen 2012-12-05
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Das lässt sich recht einfach zeigen.
intervall(x^2/2*log(x)+x^2/4)_0
=lim(n->0,(n^2/2*log(n)+n^2/4)
=lim(n->0,(n^2/2*log(n))
=lim(n->0,(log(n)/(2*n^(-2)))
Nun lässt sich der Satz von l`Hospital anwenden, der salopp dargestellt besagt
lim(f/g)=lim(f'/g')
Zur Bestimmung des Grenzwerts erhältst du nun
=lim(n->0,(log(n)/(2*n^(-2)))
=lim(n->0,((1/n)/(-4*n^(-3)))
=lim(n->0,((-1/4)*n^2)
Der Grenzwert ist dann gerade 0.
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fru
Senior 
Dabei seit: 03.01.2005
Mitteilungen: 21456
Wohnort: Wien
 | Beitrag No.3, eingetragen 2012-12-05
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Hallo Bert!
Deine Rechnung stimmt grundsätzlich schon.
Du hast "nur" vergessen, in dieser ...
\quoteon(2012-12-05 11:41 - kautschuck im Themenstart)
$2\int_0^1{xlogx dx} = {[x^2(logx-1)]_0^1} + \frac{x^2}{2}$
\quoteoff
... Zeile auch anzuschreiben, daß der letzte Summand x2/2 an den Grenzen 0 und 1 auszuwerten ist. Richtig wäre stattdessen also:
\
2*int(x*log|x*,x,0,1)=stammf(x^2*(log|x-1),0,1)+stammf(x^2/2,0,1)
Etwas einfacher wäre es übrigens, bei der partiellen Integration den Logarithmus nicht zu integrieren, sondern zu differenzieren:
\
int(x*log|x*,x,0,1)=stammf(x^2/2*log|x,0,1)-int(x^2/2*1/x*,x,0,1)=0-stammf(x^2/4,0,1)=-1/4
Liebe Grüße, Franz
PS: Da es hier nicht um Physik geht, verschiebe ich den Thread.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]
[Verschoben aus Forum 'Physik' in Forum 'Integralrechnung' von fru]
[ Nachricht wurde editiert von fru am 05.12.2012 13:03:57 ]
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kautschuck
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 29.09.2012
Mitteilungen: 202
Wohnort: Hamburg
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2012-12-05
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Danke für eure Hilfe.
Gruss Bert
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kautschuck hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Das Thema wurde von einem Senior oder Moderator abgehakt. |
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