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 Produktmetrik und Skalarkrümmung |
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Bili
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 02.11.2009
Mitteilungen: 194
 |  Themenstart: 2013-02-13
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Hi Guys,
Ich würde gerne die Skalarkrümmung von S^n x S^m bezüglich der Produktmetrik der entsprechenden Standardmetrik des S^n bzw. S^m bestimmen. Leider kenne ich mich in den Gebiet nicht allzu gut aus, weswegen ich etwas Hilfe gebrauchen könnte.
Zunächst wollen wir einmal festhalten, was ich unter Produktmetrik verstehen will:
\
Seien (M,g), (N,h) zwei Riemansche Mannigfaltigkeiten und $M x N$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Die Riemansche Produktmetrik g x h auf M x N ist für alle u,v \el T_(p,q)(M x N) und für alle (p,q) \el M x N gegeben durch:
(g x h)(u,v) = g(d\pi_M u, d\pi_M v) + h(d\pi_N u, d\pi_N v)
Hierbei bezeichnet \pi_M bzw. \pi_N die kanonischen Projektionen auf die entsprechenden Faktoren.
Als nächstes wollen wir die Standardmetrik der Sphäre bezüglich der Stereographischen Projektion angeben (vgl: Beweis):
\
Für die Koeffizienten g_(ij) der Riemanschen Metrik von S^n bezüglich der Stereographischen Projektion gilt:
g_(ij)(y) = 4\delta_(ij)/(\abs(y)^2+1)^2
Ich würde nun die Produktmetrik von S^n x S^m wie folgt bestimmen:
\
Bezeichne \phi_n: \IR^n -> S^n die Stereographische Prohektion. Für S^n x S^m betrachten wir die Karte:
(x,y) \el \IR^n x \IR^m |-> (\phi_n(x),\phi_m(y)) \el S^n x S^m
Für die Koeffizienten der Produktmetrik bezüglich obiger Karte erhalten wir nun mit i,j <= n und k,l > n:
g_(ij)(p,q) = (g x h)(\pd\ x^i,\pd\ x^j) = g(\pd\ x^i,\pd\ x^j) + h(0,0) = 4\delta_(ij)/(\abs(p)^2+1)^2
g_(kl)(p,q) = (g x h)(\pd\ y^(k-n),\pd\ y^(l-n)) = g(0,0) + h(\pd\ y^(k-n),\pd\ y^(l-n)) = 4\delta_(kl)/(\abs(q)^2+1)^2
g_(ik)(p,q) = (g x h)(\pd\ x^i,\pd\ y^(k-n)) = g(\pd\ x^i,0) + h(0, \pd\ y^(k-n)) = 0
Betrachten wir also zwei Tangentialvektoren u,v \el T_(p,q)(S^n x S^m) mit Koordinaten (a_u, b_u) \el \IR^n x \IR^m bzw. (a_v, b_v) \el \IR^n x \IR^m, dann gilt:
(g x h)(u,v) = 4/(\abs(p)^2+1)^2 sum(a_u^k a_v^k,k=1,n) + 4/(\abs(q)^2+1)^2 sum(b_u^k b_v^k,k=1,m)
Wie ich nun die Skalarkrümmung daraus bestimme, habe ich noch nicht rechergiert. Erstmal würde mich interessieren ob ich soweit richtig gearbeitet habe.
Vielen Dank schonmal für eure Hilfe!
lg
Bili
[ Nachricht wurde editiert von Bili am 13.02.2013 17:13:43 ]
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