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 Integrieren |
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matheverena
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Dabei seit: 20.03.2013
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 |  Themenstart: 2013-03-20
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Hallo,
ich muss zwei Integrale berechnen, aber weiß leider nicht wie. Könnt ihr mir helfen? Integrieren nur mit x kann ich, aber diese Aufgaben stellen mich vor eine unlosbäre Prüfung und ichs chreibe heute Mittag um 14 Uhr meine Nachreibklausur ):! Die Aufgaben kamen so in der Klausur vor,die die geschrieben als ich krank war und der Lehrer nimmt fast immer die gleichen Aufgaben bei Nachschreibklausuren,daher gibt es die Arbeit auch noch nicht wieder. Bitte helft mir!
Berechnen Sie:
a) int(x^4 -e^(-3x-3),x,-1,3)
b) int(1/x,x,1,2x)
c) Bestimme die obere Grenze b! int(2x^3,x,1,b) = 40
Danke schön
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Engel1987
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2013-03-20
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Hallo Matheverena,
die Lösung allein bringt dich nicht weiter. Hast du dir schon Gedanken dazu gemacht oder Lösungsansätze?
Poste diese bitte. Mit einer Matheformelsammlung sollte es kein Problem sein.
Grüße Engel
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Lobatto
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| Beitrag No.2, eingetragen 2013-03-20
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kennst du denn die Stammfunktionen $F(x)$ zum Integrad $f(x)$? In die musst du dann nur noch die Grenzen einsetzen.
$\int_a^b f(x) \,\mathrm{d}x=F(b)-F(a)$
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matheverena
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| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2013-03-20
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Zu den Stammfunktionen habe ich mir Gedanken gemacht.
a) F(x) = x^5/5 -e^(-3x-3)* (-1/3). Hier kann das mit der -1 und 3 auch ausrechnen. Bin mir nur bei dem e nicht sicher.
b) F(x) = ln(x). Aber wie rechne ich das dann mit dem 2x aus? Das verstehe ich nicht.
c) F(x)= x^4/2. Hier weiß ich nicht wie das mit b und der 40 gehen soll.
Bitte helft mir!
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gaussmath
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Dabei seit: 16.06.2007
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 | Beitrag No.4, eingetragen 2013-03-20
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Hallo matheverena und herzlich willkommen auf dem MP,
ich gehe mal davon aus, dass du aufgrund der kürze der Zeit nur an den Lösungen interessiert bist?!
Wenn du dem so ist, dann siehe hier: www.wolframalpha.com/
Es gibt, wenn du die Aufgabe eingegeben hast, einen Button "Step-by-step solution". Das gibt alle Rechenschritte an. Es kann sein, dass du dich noch registrieren musst auf der Seite...
Und noch ein kleiner Rat nebenbei: früher anfangen mit dem Stoff! So bringt das nichts.
Grüße, Marc
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]
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matheverena
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| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2013-03-20
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Danke Marc, aber leider klappt das mit meinen Aufgaben nicht :(
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gaussmath
Senior
Dabei seit: 16.06.2007
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| Beitrag No.6, eingetragen 2013-03-20
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Gut, du hast ja auch in Beitrag 3 schon ordentlich vorgelegt! Das ist mehr als ich dachte. :-)
zu a) Mach' mal die Probe durch Ableiten. Das sieht gut aus! Setze dann noch die Grenzen ein.
zu b) Ist das 2x bei der oberen Grenze ein Schreibfehler? Falls nicht, setze 2x einfach als Grenze ein und vereinfache das Ergebnis.
zu c) Siehe Beitrag von Lobatto.
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grosserloewe
Senior
Dabei seit: 29.12.2012
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|  Beitrag No.7, eingetragen 2013-03-20
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Zu c)
dann wolln wir mal nicht so sein , aber es fällt Dir sehr spät ein !!
Schauh mal:
=x^4/2
untere Grenze: 1
obere Grenze : b
daraus folgt:
b^4/2 - 1/2 =40
b^4 - 1 =80
b^4 =81
b=3 als Lösung
die Probe bestätigt das.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.5 begonnen.]
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b_p
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| Beitrag No.8, eingetragen 2013-03-20
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\quoteon(2013-03-20 10:49 - matheverena in Beitrag No. 3)
a) F(x) = x^5/5 -e^(-3x-3)* (-1/3). Hier kann das mit der -1 und 3 auch ausrechnen. Bin mir nur bei dem e nicht sicher.
\quoteoff
Das ist doch schon gut! Jetzt nur noch die Grenzen -1 und 3 einsetzen und du bist fertig. Für den ersten Term erhältst du ja $\left[\frac{1}{5} x^5\right]_{-1}^3 = \frac{1}{5}(3^5 - (-1)^5) = \frac{1}{5}(3^5 - (-1)) = \frac{1}{5}(3^5 + 1)$. Der zweite ist $\left[\frac{1}{3} e^{-3x - 3}\right]_{-1}^3 = \frac{1}{3}\left(e^{-12} - e^0\right) = \frac{1}{3}\left(e^{-12} - 1\right)$. e ist die Exponentialfunktion - das musst du mit dem Taschenrechner berechnen, sofern das numerische Ergebnis gewünscht ist.
\quoteon
b) F(x) = ln(x). Aber wie rechne ich das dann mit dem 2x aus? Das verstehe ich nicht.
\quoteoff
Hier ist x nicht gleich x. Man hätte das besser $\int_1^{2x} \frac{1}{t} dt$ schreiben sollen. Dann ist aber $\int_1^{2x} \frac{1}{t} dt = [ln(t)]_1^{2x} = ln(2x) - ln(1) = ln(2x) - 0$.
\quoteon
c) F(x)= x^4/2. Hier weiß ich nicht wie das mit b und der 40 gehen soll.
\quoteoff
Die Stammfunktion ist richtig, du darfst jetzt nur keine Angst vor dem b haben, sondern musst es wie eine Zahl behandeln. Dann hast du ja $\int_1^b 2x^3 dx = [\frac{1}{2} x^4]_1^b = \frac{1}{2}(b^4 - 1^4) = \frac{1}{2}(b^4 - 1)$. So, das soll nun laut Aufgabenstellung gleich 40 sein, d. h. wir haben hier ein ganz normales Gleichungssystem, nämlich $\frac{1}{2}(b^4 - 1) = 40$. Multiplizierst du jetzt mit 2 und addierst dann 1, so hast du $b^4 = 81$. Die 4-te Wurzel kannst du dir als Quadratwurzel von der Quadratwurzel vorstellen. Es ist ja $\sqrt{81} = \pm 9$. Jetzt müssen wir nochmals die Wurzel ziehen. Da wir die Wurzel von -9 nicht ziehen können, bleibt nur die Wurzel von +9: $\sqrt{9} = \pm 3$. b kann also -3 oder 3 sein. So, nun darf die obere Grenze des Integrals nicht kleiner als die untere Grenze sein. In unserem Fall ist die untere Grenze 1, womit b = -3 rausfällt. Damit ist b = 3 die Lösung.(Beim durchgestrichenen Text bin ich von einer nicht vorhandenen Forderung ausgegangen. b = -3 ist natürlich eine Lösung wie fru in No. 29 zeigt.)
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]
[ Nachricht wurde editiert von b_p am 21.03.2013 11:32:31 ]
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matheverena
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| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2013-03-20
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Danke. Ihr seid supi.
Eine Frage habe ich noch zur anderen Aufgabe. Die lautet wie folgt:
Geben sie jeweils das unbestimmte Integral an:
int(1/2*x^6 + 3x^6 + 2/(x^3),x,)
Ist das nicht schon ein unbestimmtes Integral?
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Engel1987
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| Beitrag No.10, eingetragen 2013-03-20
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Ich denke es geht darum die Stammfunktion zu finden. Kann das sein?
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b_p
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| Beitrag No.11, eingetragen 2013-03-20
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Ich meine auch, dass hier die Stammfunktion F(x) gemeint ist. Oftmals wird hier noch die Angabe der Integrationskonstanten C erwartet, d. h. F(x) + C statt nur F(x).
[ Nachricht wurde editiert von b_p am 20.03.2013 11:46:31 ]
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matheverena
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| Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2013-03-20
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Okay, supi! Dann kann ich das auch.
Eine letzte Frage habe ich noch:
Ich habe zwei Funktionen, die sich schneiden.
f(x)=4x^3 - 24x^2 +36x im Intervall [0,4] und die Funktion
g(x)=-2x^2 + 8x im Intervall [4,7]. Das Intervall war nicht angegeben sondern ich habe es im Graphen abgelesen.
Die Aufgabe lautut nun:
Wie groß ist die von beiden Graphen markierten Flächen zusammen!
Ich habe die erste Fläche ausgerechnet und komme auf die Stammfunktion: x^4 - 8x^3 + 18x^2. Setze ich nun die Grenzen ein, erhalte ich 32.
Bei der zweiten Funktion komme ich auf die Stammfunktion: -2((x^3)/3 - 2x^2). Setze ich da die Grenzen ein komme ich auf -54.
Somit wäre die markierte Fläche 32 - 54= -22.
Das geht doch gar nicht,oder? Was mache ich flasch? Bitte helft mir nochmal schnell
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fnordel
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| Beitrag No.13, eingetragen 2013-03-20
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Hallo.
Ich verstehe nicht wieso du gerade das Interval [4,7] betrachtest.
Schau dir mal die Funktionsgraphen hier an. Willst Du die Flächen berechnen, die von den beiden Graphen eingeschlossen sind?
mfg, fnordel
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matheverena
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| Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2013-03-20
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Ja genau. das will ich.
Auf meiner Skizze sah das so aus mit meinen Werten. Ist aber auch nur eine Skizze.
Wie komme ich denn dann auf die Intervallgrenzen? Da ich wirklich nur eine Skizze aber keine genauen Angaben habe :(
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gaussmath
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| Beitrag No.15, eingetragen 2013-03-20
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Löse die Gleichung $4x^3 - 24x^2 +36x + 2x^2 - 8x = 0 $.
[ Nachricht wurde editiert von gaussmath am 20.03.2013 13:21:53 ]
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matheverena
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| Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2013-03-20
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Dann habe ich x=2 , x=0 und x=3,5.
Und wie berechne ich dann die komplette Fläöche davon?
Das Intervall von [0,2] mit der Stammfunktion von f und das Intervall von [2,3.5] mit der Stammfunktion von g und die beiden Ergebnisse dann
addieren? ich muss in 20 min los. Bitte helft mir
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gaussmath
Senior
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| Beitrag No.17, eingetragen 2013-03-20
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Du berechnest jetzt das Integral von $f-g=4x^3 - 24x^2 +36x + 2x^2 - 8x$ einmal von 0 bis 2 und einmal von 2 bis 3.5.
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matheverena
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| Beitrag No.18, vom Themenstarter, eingetragen 2013-03-20
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wie von f-g? ei der Gleichung wird aber nicht f-g gerechnet oder?
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gaussmath
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| Beitrag No.19, eingetragen 2013-03-20
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OK, es heißt ja "...die von beiden Graphen markierten Flächen zusammen." Dann muss man natürlich das Integral von f+g berechnen.
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matheverena
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| Beitrag No.20, vom Themenstarter, eingetragen 2013-03-20
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aber wie berechne ich die erste Fläche mit den Grenzen? Muss ich da ein großes Integral rausmachen?
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gaussmath
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| Beitrag No.21, eingetragen 2013-03-20
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Du musst einfach das Integral des (summierten) Polynoms berechnen. Das ist doch sehr simpel.
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matheverena
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| Beitrag No.22, vom Themenstarter, eingetragen 2013-03-20
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Kannst du mir vielleicht ganz schnell Funktion heri aufschreiben wovon ich das Integral berechnen muss. Bitzte. Ich stehe gerade auf dem Schlauch
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gaussmath
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| Beitrag No.23, eingetragen 2013-03-20
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f(x)=4x^3 - 24x^2 +36x
g(x)=-2x^2 + 8x
=> Integral von f+g=4x^3 - 24x^2 +36x + -2x^2 + 8x=4x^3 - 26x^2 + 44x
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matheverena
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| Beitrag No.24, vom Themenstarter, eingetragen 2013-03-20
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Jetzt habe ich das verstanden. Aber das muss doch f-g gemacht werden, oder? Ich soll ja später den erstemn Bereich + den zweiten Bereich rechnen
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fnordel
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| Beitrag No.25, eingetragen 2013-03-20
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Wenn du die Fläche berechnen sollst musst du einfach mit dem vorzeichen aufpassen. auf dem intervall [0,2] liegt die eine funktion über der anderen und auf dem anderen intervall ist es gerade andersherum. zieh das integral der höheren funktion jeweils von dem integral der darunterliegenden ab und addier das dann zusammen ...
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matheverena
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| Beitrag No.26, vom Themenstarter, eingetragen 2013-03-20
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Kann mir nicht einfach jemand kurz aufschreiben, mit welchen Integrale ich rechne muss.
Ich muss dochd en Flächeninhalt von zwei Teilflächen ausrechnen und dies dann addieren.
Welches Integral nehme ich für die erste und welches für die zweite Teilfläche?
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fnordel
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| Beitrag No.27, eingetragen 2013-03-20
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schau doch einfach auf die graphik die ich dir in beitrag no. 13 verlinkt habe. die blaue kurve ist f, die violette ist g.
auf [0,2] if f größer als g auf [2,3.5] ist f kleiner als g.
rechne also $\int_0^2 f(x) -g(x)dx + \int_2^{3,5}g(x) - f(x)dx$ und du
solltest einen positiven wert rausbekommen, der dem flächeninhalt
entspricht, der durch die beiden funktionen auf dem intervall [0, 3.5] eingeschlossen wird (sofern das die aufgabe war und ich dich hier nicht missverstanden habe :-) ) ...
mfg, fnordel
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gaussmath
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| Beitrag No.28, eingetragen 2013-03-20
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Ich hatte mich von der Formulierung der Aufgabenstellung verwirren lassen. Meine Aussage in Beitrag No.17 ist dann doch korrekt. Die Reihenfolge braucht man nicht zu beachten. Man kann ja auch einfach den Betrag des Integrals nehmen.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.26 begonnen.]
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fru
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 | Beitrag No.29, eingetragen 2013-03-20
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Hallo bp!
\quoteon(2013-03-20 11:23 - b_p in Beitrag No. 8)
So, b kann also -3 oder 3 sein. So, nun darf die obere Grenze des Integrals nicht kleiner als die untere Grenze sein. In unserem Fall ist die untere Grenze 1, womit b = -3 rausfällt. Damit ist b = 3 die Lösung.
\quoteoff
Das ist nicht richtig:
\
Man kann auf der x\-Achse in beide Richtungen integrieren, sodaß die obere Grenze \(die nur das Ende__ des Integrationsweges markiert, während die untere Grenze dessen Anfang__ darstellt) auch kleiner als die untere sein kann.
\small\ Das zeigt auch die Rechenregel int(f(x)*,x,a,b)=-int(f(x)*,x,b,a), die völlig sinnfrei wäre, wenn Du Recht hättest.
Also ist b=-3 eine zweite Lösung der Aufgabe, was natürlich auch eine kleine Probe bestätigt:
int(2*x^3*,x,1,-3)=stammf(x^4/2,1,-3)=(-3)^4/2-1^4/2=40
Oder auch so:
int(2*x^3*,x,1,-3)=-int(2*x^3*,x,-3,1)=-stammf(x^4/2,-3,1)=-(1^4/2-(-3)^4/2)=-(-40)=40
Liebe Grüße, Franz
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b_p
Senior
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| Beitrag No.30, eingetragen 2013-03-21
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@fru:
Das stimmt natürlich - ich war davon ausgegangen, dass für das Integrationsintervall [a, b] in der Aufgabenstellung b > a gefordert war. Nochmalige Durchsicht bestätigt, dass dies hier nicht der Fall gewesen ist - ich hatte das im Hinterkopf, da ich kürzlich etwas gelesen habe, wo oben genannte Forderung explizit aufgeführt war...
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