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  Sternenabstand aus der Leistungsdichte berechnen |
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Reddragon_2008
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 |  Themenstart: 2013-03-20
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Hallo zusammen!
In meiner ersten Klausur zu Grundlagen der Photonik kam auch eine astrophysikalische Frage dran, die ich nicht beantworten konnte, weil das so gar nicht mein Steckenpferd ist. Ich veruche sie jetzt gerade zur Vorbereitung für die Nachklausur nachzurechnen. Bisher tappe ich allerdings total im dunkeln...
Hier mal die Problemstellung:
"Zwei gleichgroße Sterne A und B sind unterschiedlich weit von der Erde entfernt. Die Gesamtleistung auf der Erde ist gleich. Bekannt sind die spektralen Leistungsdichten, die Temperatur von Stern A (6000 K), die Temperatur von Stern B (8500 K)und der Abstand zum Stern A (er beträgt: L=10 pc).
Wie weit ist der Stern B von der Erde entfernt?"
meine erste Idee war, dass man da irgendwie mit dem planck'schen Strahlungsgesetz rangehen muss... ist das richtig?
Beste Grüße
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Dixon
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2013-03-20
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Hallo Reddragon und Herzlich Willkommen :-)
Mit Sternen hat das erstmal nichts zu tun, das sollte vielleicht nur verwirren? Du hast Photonik gehört, also beginnen wir doch mal von vorn: wie würdest Du die Aufgabe lösen, wenn es einfach um zwei Schwarzkörperstrahler unterschiedlicher Temperatur ginge?
Grüße
Dixon
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Reddragon_2008
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2013-03-20
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Also wenn es verwirren sollte, hat es auf jeden Fall funktioniert...
Naja, also meine erste Idee war es, dass man sich zunächst mal die spektralen Leistungsdichten hernimmt:
L(\nue,T)=(2h\nue^3/(c^2))*1/(exp(h\nue/kT)-1)
und dann so tut, als ob die gleich sind (darf man das?). Dann könnte man Sie gleichsetzen. Aber dann habe ich immernoch keine Abstände drin...
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Reddragon_2008
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| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2013-03-20
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Ah, warte, das ist ja nur die spektrale Strahldicht. Wenn ich die Leistungsdichte nehme, muss ich ja über Frequenzen, Fläche und eingestrahlter Raumwinkel integrieren. Dann hab hab ich aber immernoch keinen Abstand zum Körper drin...
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Dixon
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| Beitrag No.4, eingetragen 2013-03-20
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Das mit dem Abstand kommt noch. Vielleicht solltest Du erstmal heraussuchen, was da eigentlich gegeben ist ;-)
Eine in-etwa Vorgehensweise habe ich schon im Kopf.
Grüße
Dixon
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Reddragon_2008
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|  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2013-03-20
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Ok,dann machen wir das mal ganz old-school:
gegeben:
-Radien der Körper: R (sind gleich groß)
-Temperatur Körper A: T=6000K
-Temperatur Körper B: T=8500K
-spektrale Leistungsgrößen (aber ohne Zahlenwerte)
-Abstand Erde-Körper A: L=10 pc
gesucht:
-Abstand Erde-Körper B
meine bisherige Lösungsidee:
1.Schritt:unter Verwendung von der oben angegebenen spektralen Strahldichte (die wir mal in einer Übung verwendet haben) komme ich auf die spektrale Leistungsdichte:
P=int(,A) int(,\omega) int(,\nue) L(\nue,T)
wobei A die abstrahlende Planetenfläche ist (bei weit entfernten Kugeln kann man ja annehmen, dass wir eine Abstrahlende Kreisfläche haben), omega der Raumwinkel ist (mit
\omega=1m^2/L_A^2
)
und nü eine Frquenz.
2.Schritt: Ich gehe davon aus, dass die spektralen Leistungsdichten gleich sind (es geht ja um schwarze Körper, da ist das ja eigentlich so [oder?])
P=1m^2/L_A^2*\pi*r_A^2*int(,\nue) L(\nue,T_A)
bzw.
P=1m^2/L_B^2*\pi*r_B^2*int(,\nue) L(\nue,T_B)
damit folgt dann:
1m^2/L_A^2*int(,\nue) L(\nue,T_A)=1m^2/L_B^2*int(,\nue) L(\nue,T_B)
so, und jetzt weiß ich nicht weiter. Ich meine man könnte das Integral noch nähern (z.B. durch die Trapezregel) aber dann hab ich immernoch die Frequenz drin stehen und die ist unbekannt.
Hab ich mich da verrannt?
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Dixon
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| Beitrag No.6, eingetragen 2013-03-20
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Hmpf, nun merkt man, daß ich mit Photonok wenig Erfahrung habe.
Mir ging es bei meiner Frage nur um die Definition von "spektraler Leistungsdichte". Ist das ein hier gemessener Wert für eine bestimmte Frequenz oder die hier gemessene Energie im gesamten Spektralbereich?
- Im letzteren Fall hilft das Stefan-Boltzmann-Gesetz. Es verbindet die abgestrahlte Energie eines Körpers mit seiner Temperatur. Die Sterne kannst Du als punktförmig annehmen (das folgt aus der Entfernung) und als schwarze Strahler (sonst ginge das mit dem SBG nicht).
Nun gibt es zwei Faktoren für das auf der Erde gemessene Verhältnis:
Die Temperatur der Strahler und der Abstand. Zwei Strahler in der gleichen Entfernung haben eine unterschiedliche Abstrahlung, wenn sie verschieden warm sind. Dieses Verhältnis ist mit dem SBG berechenbar. Was dann noch übrig bleibt an Unterschied folgt aus der Differenz der Entfernungen: quadratisches Abstandsgesetz. Die Intensität nimmt mit dem Quadrat des Abstands ab.
- Wenn da tatsächlich was nur für eine bestimmte Frequenz gegeben ist, dann geht man analog vor: man muß also zuerst bestimmen, wie sich die Werte für verschiedene Temperaturen verhalten. Wenn es dann noch einen Unterschied gibt, dann ist er eine Funktion der Entfernung, wie oben.
Noch anders gefragt, wenn da eine Entfernung von 10 pc gegeben ist, was für Werte waren für die Leistungsdichten gegeben? Insbesondere: welche Einheit hatten die? Ansonsten braucht man in der Aufgabe gar nichts rechnen...
Grüße
Dixon
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Reddragon_2008
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| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2013-03-20
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Ok, das ist auch ein Problem das ich habe/hatte. Es stand nur da, das die spektralen Leistungsdichten gemessen und damit bekannt sind, aber weder Zahlen noch Einheiten waren dazu gegeben. Deshalb war ja meine Vermutung, dass die sich irgendwie gegnseitig wegheben.
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Dixon
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| Beitrag No.8, eingetragen 2013-03-20
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In den Verhältnissen kürzen sich die Einheiten weg. Aber ohne konkrete Zahlen ist das alles etwas sinnlos und man kann auch keine Entfernung angeben. Nur, wie man die berechnet, wenn man Zahlen hätte. Das war wohl eine Verständnisfrage (mit schmückendem = verwirrendem Beirat) ;-)
Grüße
Dixon
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Reddragon_2008
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| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2013-03-20
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Irgendwie ist das unbefriedigend, auch wenn ich dir 100%ig recht gebe. Es ergibt ja alles Sinn. Irgendwie hab ich trotzdem gehofft, dass man am Ende was sinnvolles rauskommt.
Auf jeden Fall vielen Dank für die Hilfestellungen!
Beste Grüße,
Red
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Ex_Mitglied_19661
|  Beitrag No.10, eingetragen 2013-03-20
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\quoteon(2013-03-20 16:55 - Reddragon_2008 im Themenstart)
...
meine erste Idee war, dass man da irgendwie mit dem planck'schen Strahlungsgesetz rangehen muss... ist das richtig?
\quoteoff
Hallo,
ich würde eher vom Stefan-Boltzmann-Gesetz ausgehen: $P = \sigma\cdot A \cdot T^4$
Die zweite wesentliche Angabe in der Aufgabe sehe ich in:
"Die Gesamtleistung auf der Erde ist gleich."
Damit sind auch die Intensitäten der beiden Sterne auf der Erde gleich und daraus ergibt sich die einfache Relation:
$\dfrac{T^4_A}{r_A^2}=\dfrac{T_B^4}{r_B^2}$
Servus
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Knaaxx
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| Beitrag No.11, eingetragen 2013-03-20
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Hallo,
pi mal Daumen (pi für SBG (^4))
Entfernung = sqrt(10*10/6000^4*8500^4) = 20pc
So etwa würde ich das ohne jeglichen weiteren Verstand ermittelt haben.
(^4 geht auf Dixon)
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Dixon
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|  Beitrag No.12, eingetragen 2013-03-20
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Ich stimme trek zu.
Den von ihm zitierten Satz habe ich nicht weiter beachtet, da er irgendwie keinen Sinn ergab. Ich hätte erwartet einen Satz zu gleichen Intensitäten oder Leistungsdichten.
Grüße
Dixon
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.10 begonnen.]
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Knaaxx
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| Beitrag No.13, eingetragen 2013-03-20
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Ohne Dixon wärs diese einfache Dreisatz-Rechnung geworden
Entfernung = sqrt(10*10/6000^1*8500^1)
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Dixon
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| Beitrag No.14, eingetragen 2013-03-20
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\quoteon(2013-03-20 20:58 - Knaaxx in Beitrag No. 13)
Ohne Dixon wärs diese einfache Dreisatz-Rechnung geworden
Entfernung = sqrt(10*10/6000^1*8500^1)
\quoteoff
Äh, was hat das mit mir zu tun?
Ich bin froh, daß ich "Stefan" richtig geschrieben habe... ;-)
Grüße
Dixon
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Knaaxx
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| Beitrag No.15, eingetragen 2013-03-20
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\quoteon(2013-03-20 21:23 - Dixon in Beitrag No. 14)
Äh, was hat das mit mir zu tun?
\quoteoff
Ohne deine Post hätte ich nichts von einen ^4 Zusammenhang "gewusst" und auch nichts geahnt davon. Der Quadratische Entfernungszusammenhang hingegen ist einfache Länge-Fläche Relation und ist auch ohne weitere Physik so zu erwarten.
[ Nachricht wurde editiert von Knaaxx am 20.03.2013 21:46:46 ]
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Reddragon_2008
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| Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2013-03-20
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Hach, Weltklasse, ich sehe hier läuft auch alles ohne mich ;)
Ich hab grad erstmal gelüftet, was gegessen und mich nochmal neu rangesetzt und wollte grade auch die oben gezeigt rechnung präsentieren und siehe da... trek hat mir die Arbeit weggenommen...
wobei mir noch eine Frage offen bleibt:
Man geht ja von
T^4=P/(\sigma*A)=(S*4\pi*r^2)/(\sigma*4\pi*R^2)
(siehe Wikipedia) aus. Wobei r der Abstand Planet-Erde ist und R der Planetenradius. Und jetzt kommts: S ist die Solarkonstante. Darf ich davon ausgehen, dass wenn die Leistung gleich ist, dann ist auch die Solarkonstante gleich für die beiden Planeten? Weil nur dann komm ich zu der von trek gezeigten Gleichung.
Beste Grüße,
Red
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.14 begonnen.]
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Ex_Mitglied_19661
|  Beitrag No.17, eingetragen 2013-03-20
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Hallo Red !
• Wieso Planetenradius ? ("2 gleichgroße Sterne A und B ...")
• Wieso 'Solarkonstante' (= Intensität der Sonneneinstrahlung) ?
• "Die Gesamtleistung auf der Erde ist gleich."
Und damit die pro Flächeneinheit einfallende Leistung = Intensität
Servus
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Reddragon_2008
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Dabei seit: 20.03.2013
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| Beitrag No.18, vom Themenstarter, eingetragen 2013-03-20
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Also der erste Punkt ist klar, die gleichen Radien würden sich ja beim gleichsetzen rauskürzen. Was ich dann also noch hätte wäre (sigma geht ja auch weg)
T_A^4/P=T_B^4/P
Wenn ich jetzt sage die Leistungen sind gleich. Wie kommen denn dann bei dir die Abstände rein? Das würde ja bedeuten, dass P direkt proportional zu r^2 ist. (Ist das so?)
Kannst du ansonsten vielleich kurz erklären (mit Formeln) wo du bei der Stefan-Boltzman-Gleichung den Abstand reinbekommst? Weil im A steckt es ja nicht drin. Das ist doch nur die abstrahlende Fläche.
Gruß
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Ex_Mitglied_19661
| Beitrag No.19, eingetragen 2013-03-20
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Hallo Red !
Bei Kugelwellen - wie im vorliegenden Fall - verteilt sich die abgestrahlte Leistung P auf immer größer werdende Kugeloberflächen.
Das heißt, die Intensität I ist reziprok zum Abstandquadrat.
Hier:
$I\varpropto \dfrac{T^4}{r^2}$
Servus
[ Nachricht wurde editiert von trek am 20.03.2013 23:18:18 ]
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Reddragon_2008
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Dabei seit: 20.03.2013
Mitteilungen: 9
| Beitrag No.20, vom Themenstarter, eingetragen 2013-03-21
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Ahhhh, ok, das ergibt natürlich Sinn. Dann ist alles klar. Im Großen und Ganzen also viel zu kompliziert gedacht. Das war ja wiedermal klar... Vielen lieben Dank!
Natürlich auch an alle Anderen!
Beste Grüße,
Red
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