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 Aufleiten einer e-Funktion mit doppelten Exponenten |
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Jens11
Ehemals Aktiv 
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 |  Themenstart: 2013-04-05
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Hallo zusammen,
ich möchte folgende Funktion aufleiten:
e^2^x.
Nun bin ich schon etwas aus der Integralberechnung raus.
Mein erste Gedanke war die Substitution von 2^x. Allerdings wird dann die Ableitung nicht sehr schön und führt auch irgendwie zu nichts.
Könnt ihr mir weiterhelfen, einen Tipp geben?
VG
Jens
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Ex_Senior
 | Beitrag No.1, eingetragen 2013-04-05
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\
Hallo Jens11
Die Substitution \void u=2^x \void ist der richtige Weg.
Hinweise: \void Danach logarithmieren dieser Gleichung und
dabei beachten dass \void u=u(x) \void ist.
Danach ableiten nach x und dann noch dx durch du ausdrücken.
Integrieren nach u. Stammfunktion(en) wohlbekannt.
Mit Rücksubstitution folgt dann das Ergebnis.
Zur Probe kann man das Ergebnis nach x ableiten und es
muss der ursprüngliche Integrand das Ergebnis der
Probe sein.
Ursprünglicher Integrand ist \void e^2^x.
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Jens11
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2013-04-07
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Hallo!
Danke fermat63. Ich versuche mal mein Glück, bitte seht mir meine ggf. banalen Fehler nach, bin bin wie gesagt schon etwas aus dem Thema raus:
substituiere: u=u(x)=2^x=e^(x*ln2)
u'(x)=du/dx=e^(x*ln2)*ln2=2^x*ln2
dx=1/(2^x*ln2) du
int(e^2^x,x,a,b)
=
int(e^u*1/(2^x*ln2),u,a,b)
Da muss doch irgendwo ein Fehler sein, oder?
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Ex_Senior
| Beitrag No.3, eingetragen 2013-04-07
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Hallo
Du kannst x noch ersetzen. Ich glaube, dass die Stammfunktion nichtelementar ist.
mfgMrBean
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Jens11
Ehemals Aktiv
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2013-04-07
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Hallo MrBean,
danke für deine HIlfe.
Nun lautet das zu lösende Integral:
1/ln2 * int(1/2^ln(u/2)*e^u,u,a,b)
Leider muss ich zugeben, komme ich nun auf Anhieb auch nicht weiter. Mich stört das Produkt.
Könnt ihr mir noch einmal einen Tipp geben?
Die Stammfunktion von e ist klar, aber was ist mit 2^ln(u/2)
Nachtrag: Gibt es wirklich keine elementare Stammtfunktion? Dann kann ich den Kram hier ja eh vergessen, oder?
VG
[ Nachricht wurde editiert von Jens11 am 07.04.2013 01:24:46 ]
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.5, eingetragen 2013-04-07
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Nein, es gibt keine elemtare Stammfunktion.
Hochachtungsvoll
fennek
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Ex_Senior
| Beitrag No.6, eingetragen 2013-04-07
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\
Hallo Jens11
fennek hat recht.
Stammfunktionen nicht in geschlossener Form darstellbar.
Beitrag No.1 von mir ist damit hinfällig.
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Ex_Senior
| Beitrag No.7, eingetragen 2013-04-07
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\quoteon(2013-04-07 01:20 - Jens11 in Beitrag No. 4)
Nachtrag: Gibt es wirklich keine elementare Stammtfunktion? Dann kann ich den Kram hier ja eh vergessen, oder?
\quoteoff
Das ist nicht schlüssig, wenn Du schon ein bestimmtes Integral berechnen willst und Dich nicht zwischen den Polen elementare Integrierbarkeit und Stammfunktion bewegst...
\quoteon(2013-04-07 00:51 - Jens11 in Beitrag No. 2)
substituiere: u=u(x)=2^x=e^(x*ln2)
u'(x)=du/dx=e^(x*ln2)*ln2=2^x*ln2
dx=1/(2^x*ln2) du
int(e^2^x,x,a,b)
=
int(e^u*1/(2^x*ln2),u,\red a,\red b \black)
\quoteoff
Hier wurden die Integrationsgrenzen nicht gemäß der Substitution u = 2^x angepaßt. Richtig wäre
int(e^2^x,x,a,b) = ... = int(e^u*1/(2^x*ln(2)),u,u(a),u(b))
Auch steht hier ein u = 2^x direkt drin (=> siehe Fehler in Beitrag No.4!), was also zu
int(e^2^x,x,a,b) = ... = 1/ln(2) * int(e^u/u,u,u(a),u(b))
führt. Das kann man jetzt umschreiben, in der Form
\align int(e^2^x,x,a,b) = ... = 1/ln(2) * int(e^u/u,u,u(a),u(b))
= 1/ln(2) * (int(e^u/u,u,-\inf,u(b)) - int(e^u/u,u,-\inf,u(a)))
Denn mit Hilfe der Definition
Ei(y) := int(e^t/t,t,-\inf,y)
und u(x) = 2^x wird
\align int(e^2^x,x,a,b) = ... = (Ei(2^b) - Ei(2^a))/ln(2)
Dabei ist Ei(y) die sogen. Integralexponentialfunktion, eine -im üblichen Terminus- nicht-elementare Funktion, deren Eigenschaften bekannt sind und deren Werte tabelliert sind, z.B. hier.
[ Nachricht wurde editiert von cis am 07.04.2013 10:59:24 ]
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Jens11
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2013-04-08
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Danke cis und auch den anderen für eure umfangreiche Darstellungen und Tipps!
In einem anderen Thread habe ich noch einmal eine Funktion, die ich nicht ganz lösen kann.
VG
Jens
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Ex_Senior
| Beitrag No.9, eingetragen 2013-04-08
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\quoteon(2013-04-08 09:47 - Jens11 in Beitrag No. 8)
In einem anderen Thread habe ich noch einmal eine Funktion, die ich nicht ganz lösen kann.
\quoteoff
Sowas sollte verlinkt werden, und zwar in der Form
\sourceon HTML
Text, z.B. *Klick Mich*
\sourceoff
PS: Das Wort 'Aufleiten' sollte vermieden werden, es heißt 'Integration'...
[ Nachricht wurde editiert von cis am 08.04.2013 09:54:51 ]
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Jens11
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| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2013-04-08
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Danke für die Info!
Ich habe die Funktion gerade aber schon selbst lösen können.
Dennoch bleib wohl für mich noch eine grundsätzliche Frage (also Thead wohl noch nicht ganz abgeschlossen!):
Wenn ich ein Produkt aus zwei Integranten haben, welche Integrationsregel gilt dann?
Einfaches Beispiel: Das Integral aus x * e^x.
Könnt ihr mir da wohl nochmal weiterhelfen?
VG
Jens
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Ex_Senior
| Beitrag No.11, eingetragen 2013-04-08
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Hallo
Das geht mit partieller Integration.
mfgMrBean
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viertel
Senior 
Dabei seit: 04.03.2003
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Wohnort: Hessen
 | Beitrag No.12, eingetragen 2013-04-08
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\quoteon(2013-04-08 10:00 - Jens11 in Beitrag No. 10)
Wenn ich ein Produkt aus zwei Integranten haben, welche Integrationsregel gilt dann?
Einfaches Beispiel: Das Integral aus x * e^x.
\quoteoff
Zum einen sind es Integranden.
Was du aber meinst ist ein Produkt aus zwei Funktionen.
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lula
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Dabei seit: 17.12.2007
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 | Beitrag No.13, eingetragen 2013-04-08
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Hallo
Es gibt keine allgemeine Integrations-Regel für Produkte von Funktionen. Öfter mal hilft partielle Integration, wie in deinem Bsp. also lohnt ein Versuch.
Ausserdem sollte man direkt erkennen
\
f'*f=1/2*(f')^2
1/sqrt(f)*f'=(sqrt(f))'
1/f*f'=(ln(f))'
davon gibts noch ein paar mehr
bis dann, lula
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Dixon
Senior 
Dabei seit: 07.10.2006
Mitteilungen: 5809
Wohnort: wir können alles, außer Flughafen, S-Bahn und Hauptbahnhof
 | Beitrag No.14, eingetragen 2013-04-08
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\quoteon(2013-04-08 12:35 - lula in Beitrag No. 13)
\
f'*f=1/2*(f')^2
\quoteoff
Korrektur:
f'*f = 1/2 (f^2)'
Grüße
Dixon
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lula
Senior
Dabei seit: 17.12.2007
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| Beitrag No.15, eingetragen 2013-04-08
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Hallo Dixon
Danke!
bis dann, lula
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ZetaX
Senior
Dabei seit: 24.01.2005
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| Beitrag No.16, eingetragen 2013-04-08
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Es wäre schön, wenn die Nichtexistenz von Stammfunktionen nicht einfach so behauptet, sondern belegt werden würde. Eine Möglichkeit wäre es hierzu, diese für Ei als bekannt vorauszusetzen bzw. ein passendes Paper zu zitieren. Eine andere wäre es, den Risch-Algorithmus durchzuführen.
Ansonsten sollte man sich dazu mit Differentialgaloistheorie befassen, auch wenn es für Einzelfälle direktere Argumente gibt.
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.17, eingetragen 2013-04-08
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Die Stammfunktion existert doch, ist aber eben eine "höhere" Funktion.
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ZetaX
Senior
Dabei seit: 24.01.2005
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Wohnort: Wenzenbach
| Beitrag No.18, eingetragen 2013-04-08
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Die Nichtexistenz von Stammfunktionen meint natürlich solche eines bestimmten Typs, z.B. elementar.
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Ex_Senior
| Beitrag No.19, eingetragen 2013-04-08
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fennek hat recht, die Stammfunktion(en) ist(sind) nur nicht
darstellbar, als ein Konglomerat von Elementarfunktionen.
[ Nachricht wurde editiert von fermat63 am 08.04.2013 20:32:01 ]
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.20, eingetragen 2013-04-08
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Wie genau ist denn "Konglomerat" definiert?
Der Punkt ist doch gerade, dass man durch Grenzübergänge von elementaren Funktionen (Polynome, e funktion, sinus conius,...) eine "höhere" Funktion kriegt.
Im Grunde hat man ja folgendes:
Polynome $\overset{Grenzübergang}{\longrightarrow}$ Transzendente Funktionen $\overset{Grenzübergang}{\longrightarrow}$ höhere Funktionen
Was mich jetzt interessieren würde: Wenn man bei den höheren Funktoinen einen grenzübergang durchführt, landet man dann wieder in einer höheren Funktoinenklasse oder ist letzere Funktionenklasse abgeschlossen gegenüber einem Grenzübergang?
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ZetaX
Senior 
Dabei seit: 24.01.2005
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Wohnort: Wenzenbach
| Beitrag No.21, eingetragen 2013-04-08
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fermat63: Was bitte ist spätestens seit meinem Antwortpost noch unklar, oder wieso postest du das nun¿ Zudem bemängele ich gerade das Fehlen jeglicher Begründungen in der Behauptung, es gäbe keine solchen.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.19 begonnen.]
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ZetaX
Senior
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| Beitrag No.22, eingetragen 2013-04-08
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fennek: Was ist hier eine "höhere Funktion"¿ Und was ist dieser Grenzübergang¿
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.23, eingetragen 2013-04-08
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Wenn ich mir ein Polynom $\sum_{i=0}^{n}P_{i}(x)$ nehme, wobei $P_{i}()$ selbst wieder ein Polynom ist, dann kann ich bei geeigneter Wahl von P und einen Grenzübergang $n\rightarrow \infty$ die E Funktion darstellen.
Wenn ich mir jetzt beispielsweise durch obige Vorgehensweise die Funktion $f(x)=exp(x)/x$ bastel, dann kann ich durch Integration, was letzlich auch eine Art von Grenzübergang ist, eine nichtelementare Funktion (=höhere Funktion) Ei(x) basteln.
Wenn ich jetzt mit Ei(x) erneut einen grenzübergang durchführe, würde das zu einer noch höheren Funktionenklasse führen?
Meine Frage ist leider sehr unpräzise, und womöglich sehr wirr.
Tut mir leid, ich kann es nicht besser ausdrücken.
Grüße
fennek
[ Nachricht wurde editiert von fennek am 08.04.2013 20:52:11 ]
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ZetaX
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Dabei seit: 24.01.2005
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| Beitrag No.24, eingetragen 2013-04-08
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Je nach Auslegung liefert der erste Grenzübergang schon alle Funktionen, die in einer Umgebung um 0 holo- oder meromorph sind, nämlich sie dort konvergenten Potenzreihen oder Laurentreihen. Diese Funktionsmenge wird durch Hinzunahme von Stammfunktionen oder Limites bereits nicht mehr größer.
[ Nachricht wurde editiert von ZetaX am 08.04.2013 21:14:03 ]
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Kofi
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Dabei seit: 06.08.2010
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| Beitrag No.25, eingetragen 2013-04-08
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Um das nochmal zu ergänzen (auch wenn dieser Thread mittlerweile ziemlich gehijacked wurde): Grenzübergang ist der falsche Ausdruck.
Die ganzrationalen Funktionen bilden einen Körper, einen Oberkörper der reellen oder komplexen Zahlen.
Die Frage nach einer "elementaren" Stammfunktion meint meistens ungefähr folgendes: Ist die Stammfunktion ein Element des Körpers, der entsteht, wenn man die ganzrationalen Funktionen um "elementare" Funktionen erweitert.
Elementar gelten meistens soetwas wie: Logarithmus, Exponentialfunktion, Sinus, Cosinus, Arkusfunktionen, Hyperbolische Funktionen, Wurzelfunktionen und so weiter und so weiter, je nach Geschmack.
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ZetaX
Senior
Dabei seit: 24.01.2005
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| Beitrag No.26, eingetragen 2013-04-08
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Das ist nicht nach Geschmack, sondern wohldefiniert: Es ist der kleinste Körper, der IC enthält und unter Polynomfunktionen, deren Umkehrungen (d.h. Lösungen von Polynomgleichungen), exp, log sowie Funktionsverkettung abgeschlossen ist. Die anderen genannten Funktionen ergeben sich automatisch.
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Jens11
Ehemals Aktiv
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| Beitrag No.27, vom Themenstarter, eingetragen 2013-04-09
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Ui, mensch, hier ist ja was los!
Für mich sollte es wohl erstmal ausreichen, wenn ich mich mit partieller Integration an die Sache heranwage und danke für die Korrektur, viertel!
VG
Jens
P.S.: ich schließe dann diesen Thread wohl erstmal nicht, was :-)
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Ex_Senior
| Beitrag No.28, eingetragen 2013-04-09
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Hallo
Ich rechne dirs mal vor:
int(x*exp(x),x)=x*e^x-int(exp(x),x)=exp(x)*(x-1)
Hier ein paar Beispiele, die du selber machen kannst:
f(x)=x*sin(x)
f(x)=sin^2(x)
f(x)=(ln(x))^5/x
Die drei Beispiele lassen sich am besten mit partieller Integration lösen.
mfgMrBean
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Kofi
Senior
Dabei seit: 06.08.2010
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| Beitrag No.29, eingetragen 2013-04-09
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\quoteon(2013-04-08 23:03 - ZetaX in Beitrag No. 26)
Das ist nicht nach Geschmack, sondern wohldefiniert: Es ist der kleinste Körper, der IC enthält und unter Polynomfunktionen, deren Umkehrungen (d.h. Lösungen von Polynomgleichungen), exp, log sowie Funktionsverkettung abgeschlossen ist. Die anderen genannten Funktionen ergeben sich automatisch.
\quoteoff
Wie genau meinst du das denn nun? Kein Unterkörper eines Körpers $\mathcal{M}(U)$ meromorpher Funktionen auf einem Gebiet $U \subseteq \mathbb{C}$ ist bezüglich der Funktionsverkettung abgeschlossen.
[ Nachricht wurde editiert von Kofi am 09.04.2013 23:06:46 ]
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Gockel
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 | Beitrag No.30, eingetragen 2013-04-09
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Das heißt ja nur, dass nicht gleichzeitig ein Definitionsbereich für alle elementaren Funktionen zugewiesen werden kann. Es könnte trotzdem sein, dass jede einzelne elementare Funktion sich als meromorphe Funktion auf einem geeigneten Teilgebiet von IC schreiben lässt. (Und einmal grob im Kopf überschlagen denke ich auch, dass das stimmt) Es stimmt natürlich nicht.
mfg Gockel.
[ Nachricht wurde editiert von Gockel am 09.04.2013 23:15:40 ]
[ Nachricht wurde editiert von Gockel am 10.04.2013 01:36:02 ]
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Kofi
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| Beitrag No.31, eingetragen 2013-04-09
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Ja, sicherlich ist jede elementare Funktion meromorph. Allerdings existiert der...
\quoteon(2013-04-08 23:03 - ZetaX in Beitrag No. 26)
... kleinste Körper, der IC enthält und unter Polynomfunktionen, deren Umkehrungen (d.h. Lösungen von Polynomgleichungen), exp, log sowie Funktionsverkettung abgeschlossen ist...
\quoteoff
...eben nicht, das wollte ich bloß sagen!
Das heißt, die elementaren Funktionen bilden keinen Körper, zumindest nicht auf eine besonders offensichtliche Weise!
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Gockel
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| Beitrag No.32, eingetragen 2013-04-09
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Doch natürlich existiert dieser Körper. Er ist halt nur kein Unterkörper irgendeines Körpers meromorpher Funktionen. Die Elemente dieses Körpers sind a priori überhaupt keine Funktionen, sondern eher "Abbildungsvorschriften" und werden erst durch Wahl eines geeigneten Definitionsbereichs zu Funktionen. Aber "geeignet" ist eben für jedes Element eine andere Menge von Gebieten.
mfg Gockel.
[ Nachricht wurde editiert von Gockel am 09.04.2013 23:26:26 ]
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Kofi
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| Beitrag No.33, eingetragen 2013-04-10
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Genau darum habe ich nachgefragt, wie genau das nun gemeint ist. Ich habe einfach keine Ahnung, wie so ein Körper zu konstruieren wäre. So "offensichtlich" finde ich es nicht, dass das möglich ist!
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ZetaX
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| Beitrag No.34, eingetragen 2013-04-10
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Wenn man möchte, so kann man diesen Körper durchaus als die formalen Terme hinter diesen Funktionen auffassen, also als die Menge aller endlichen sinnvollen Ausdrücke in Symbolen aus IC und +, -, ·, :, (, ), °, exp, log sowie ein Symbol für eine Nullstelle eines Polynoms (mir ist dazu keine Standardbezeichnung bekannt; f^-1(0) passt ja nicht ganz); das Problem ist dann, dass einige dieser Terme gleich sein sollen, z.B. exp(a)·exp(b) und exp(a+b). Es ist meines Wissens aber immer noch offen, ob Gleichheit solcher Terme bezüglich der "erwarteten" Umformungen tatsächlich genau dann gilt, wenn dies für eine passende Interpretation als Funktionen gilt.
Die übliche Methode in der Differentialgaloistheorie ist es stattdessen, analog der Adjunktion von Nullstellen eines Polynoms, Lösungen von Differentialgleichungen zu adjungieren. Die Gleichungen x' = f'x in der Variablen x liefert z.B. exp(f), die Gleichung fx' = f' hat die Lösung log(f). Mit dem Auswahlaxiom kann man dann auch einen (kleinsten) Oberkörper konstruieren, der unter Lösungen solcher Gleichungen abgeschlossen ist.
[ Nachricht wurde editiert von ZetaX am 10.04.2013 00:47:05 ]
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Gockel
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Dabei seit: 22.12.2003
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| Beitrag No.35, eingetragen 2013-04-10
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Naja offensichtlich ist Geschmackssache. Die Konstruktion ist einfach wie so oft: Mache die Konstruktionen, gegenüber denen du Abgeschlossenheit haben willst, beliebig oft und vereinige alles. Das jetzt im Detail durchzuziehen, ist etwas mühselig.
Man beachte, dass man sich die Abgeschlossenheit unter Komposition schenken kann, denn wenn f sich durch algebraische Operationen, Exponenzierungen und Logarithmieren schreiben lässt, dann man dieselben Operationen einfach in derselben Reihenfolge auf g anwenden und erhält f\circ\ g.
Man braucht also nur die Abgeschlossenheit unter diesen drei Sachen. Die algebraischen Operationen regelt man, indem man \(auch zwischen durch gerne mal\) zum algebraischen Abschluss des jeweiligen Körpers übergeht. Die Frage ist also, wie man Exponenzieren und Logarithmen abbildet.
Man kann das z.B. mit Differentialkörpern konstruieren, d.h. wir betrachten Körper, die mit einer Derivation ':K\to\ K ausgestattet kommen. Wir wollen alle Polynom für elementar erklären und das gewöhnliche Ableiten simulieren, also betrachten wir nur Oberkörper von K_0:=\IC(x) mit Derivationen, die d/dx fortsetzen.
Ist nun K ein solcher Körper und g\in\ K, dann kann man fragen, ob
(a) f' = g'*f
(b) f' = g'/g
lösbar mit einem f'\in\ K ist. Wenn das so ist, gut. Wenn nicht, dann bilden wir den Funktionenkörper K(f) und definieren f' eben auf diese Weise.
Übungsaufgabe 1: Beweise, dass das wohldefiniert ist, d.h. es wirklich eine Fortsetzung der Derivation in diesem Sinne gibt.
Übungsaufgabe 2: Beweise außerdem, dass sich bei diesen beiden Fortsetzungen der Körper der Konstanten, d.h. menge(h | h'=0), nicht vergrößert hat.
Übungsaufgabe 3: Ist K\to\ L eine algebraische Erweiterung, so gibt es eine eindeutige__ Fortsetzung der Derivation von K auf L, die ebenfalls den Konstantenkörper nicht vergrößert.
Elementare Erweiterungen sind nun Differentialkörpererweiterungen K_0\to\ K, für die es eine Kette von Differentialkörpern
K_0\to\ K_1\to ... \to\ K_n=K
gibt derart, dass K_i\to\ K_(i+1) eine algebraische, exponentielle oder logarithmische Erweiterung im obigen Sinne ist.
Zorns Lemma oder eine transfinite Induktion zeigen jetzt, dass es eine maximale elementare Erweiterung von K_0 gibt und man überlegt sich auch leicht \(z.B. ebenfalls mittels Zorn\), dass diese bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt ist.
Dies ist der Körper der elementaren Funktionen.
EDIT:
Und natürlich sind nicht alle elementaren Funktion meromorph. Dämlicher Fehler von mir. Alleine exp(1/z) hat ja schon eine wesentliche Singularität.
Vielleicht könnte man etwas anderes beweisen: Es gibt zu jeder elementaren Funktion eine Menge vom Maß 0 in den komplexen Zahlen, deren Komplement als Definitionsbereich tauglich ist.
mfg Gockel.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.33 begonnen.]
[ Nachricht wurde editiert von Gockel am 10.04.2013 01:54:31 ]
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Ex_Senior
| Beitrag No.36, eingetragen 2013-04-10
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Falls es hilft:
\quoteon(2013-04-08 19:34 - ZetaX in Beitrag No. 16)
...Risch-Algorithmus ....
\quoteoff
--> Hierzu habe ich letztens einen interessanten Faden gefunden:
http://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=27478&start=0&lps=627611#top
\quoteon(2013-04-08 10:00 - Jens11 in Beitrag No. 10)
Danke für die Info!
....
Einfaches Beispiel: Das Integral aus x * e^x.
...
\quoteoff
---> Ansonsten sollten -aus Gründen der Übersichtlichkeit- neue Aufgaben einen neuen Faden erhalten...
[ Nachricht wurde editiert von cis am 10.04.2013 14:18:15 ]
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| | Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen. |
endy
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Dabei seit: 10.01.2011
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 | Beitrag No.37, eingetragen 2013-04-11
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Gockel
Senior
Dabei seit: 22.12.2003
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Wohnort: Jena
| Beitrag No.38, eingetragen 2013-04-12
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@endy:
Interessant, interessant. A priori ist da allerdings der Schönheitsfehler drin, dass nur meromorphe Funktionen betrachtet werden. Das scheint zunächst eine große Einschränkung zu sein, weil es elementare Funktionen wie exp(1/z) ausschließt.
Glücklicherweise ist der Satz von Liouville allgemeiner und gilt tatsächlich für alle Differentialkörper, sodass die Bemerkung "The key point is that the $g_j$'s and $h$ can be found in any elementary field $K$ containing $f$." direkt im Anschluss daran es uns erlaubt, uns auf elementare, meromorphe Funktionen zurückzuziehen, solange unser Integrand meromorph ist. Schöne Sache. :-)
mfg Gockel.
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