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| Autor |
 Integralrechnung |
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avicenna1204
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 06.03.2013
Mitteilungen: 35
 |  Themenstart: 2013-05-12
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Hallo,
Berechnen Sie das Volumen, das das zwischen den Parabeln f(x)=4-x^2
und
g(x)=1/4*x^2 gelegene Flächenstück bei Rotation um die y-Achse erzeugt.
Problem: Da um die um y-Achse rotiert sind die Nullstellen nicht
vom Nutzen?
Idee:
setze f(x)=g(x)=4/3*x^2-4 um gemeinsame Eigenschaften zu erhalten.
I\el\ [0,4]
Da f(x) von 4 nach unten! und g(x) von 0 nach oben geht!
VR(f)=\pi int((4/3*x^2-4)^2,x,0,4)
und dann natürlich zu Ende rechnen.
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 Profil
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gonz
Senior 
Dabei seit: 16.02.2013
Mitteilungen: 4730
Wohnort: Harz
 | Beitrag No.1, eingetragen 2013-05-12
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Hi :)
hast du das cosquadrat - integral in den Griff bekommen? dann wäre es nett wenn du dort abhakst :)
dein Ansatz hier ist nicht ganz richtig. Du musst folgendes bedenken: Wenn du den Rotationskörper in einer Ebene durchschneidest, die senkrecht auf der x-Achse steht, erhältst du einen Kreisring. Der Innenradius ist jeweils g(x) und der Aussenradius f(x) (soweit dein Ansatz richtig, wenn ich auch teils deine Formulierungen nicht ganz verstehe).
Allerdings ist die Fläche eines Kreisringes mit Radien r (innen) und R (aussen):
\
A_Kreisring = \pi R^2 - \pi r^2 = \pi (R^2 - r^2)
Diese Werte integrierst du entlang der y-Achse auf - das ergibt als Integrand
\
\pi ( f(x)^2 - g(x)^2)
Auch die Integrationsgrenzen musst du dir nochmal ansehen, es muss ja zwischen den Schnittpunkten von f und g integriert werden.
Grüsse
gonz
[ Nachricht wurde editiert von gonz am 12.05.2013 17:10:56 ]
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psychironiker
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 24.09.2010
Mitteilungen: 370
| Beitrag No.2, eingetragen 2013-05-18
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Hallo,
@gonz:
1. Wieso bekomme ich einen Kreisring oder ein Teil davon, wenn ich ein Paraboloid, das durch Rotation um die y-Achse entsteht, mit einer Ebene E schneide, die dessen Symmetrieachse enthält bzw. durch Parallelverschiebung aus E hervorgeht? (Das ist für alle Ebenen der Fall, die senkrecht auf der x-Achse stehen, wie du schreibst)
Sollten die betrachteten Ebenen vielleicht senkrecht auf der y-Achse stehen?
2. Seien S(x0, y0) und S'(-x0, y0) die Schnittpunkte der Parabeln.
Da f(x) nach unten, g(x) aber nach oben geöffnet ist und der Scheitel von f(x) oberhalb des Scheitels von g(x) liegt, zerfällt die Rotationsfigur in zwei Teile, von denen der obere auschließlich von f(x), der untere ausschließlich von g(x) begrenzt wird. Die beiden Teile werden durch die Ebene y = y0 getrennt.
Ich steige beim besten Willen nicht durch, was deine Kreisringe zur Sache tun... oder bin selbst ganz verkehrt.
3. Zur Berechnung schlage ich vor:
A = \pi (int((g^(-1)(y))^2,y,0,yo) + int((f^(-1)(y))^2,y,y0,4)),
wobei g^(-1)(y), f^(-1)(y) die (im ersten Quadranten definierten) Kehrfunktionen der gegebenen sind.
psychironiker
[ Nachricht wurde editiert von psychironiker am 18.05.2013 00:13:36 ]
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