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 Rotationsvolumen um y-Achse |
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chris080
Junior 
Dabei seit: 24.05.2013
Mitteilungen: 7
 |  Themenstart: 2013-05-24
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Hallo ich habe hier eine Aufgabe, die ich lösen will. Und zwar geht es um einen parabelförmigen Behälter mit einer Höhe (innen) von 12cm und einem Durchmesser (innen) von 6 cm. Und da hab ich auch schon was berechnet, bin mir aber bei einigen Stellen noch recht unsicher.
Und damit Ihr nicht denkt, ich hätte selbst nichts gemacht, habe ich meine Rechnungen als Bilder angehängt (siehe ganz unten).
Beim oberen Teil des Bildes habe ich die Parabel berechnet und glaube auch soweit alles richtig gemacht zu haben.
Nur beim zweiten Teil bin ich noch recht unsicher.
1. Also als erstes habe ich die Umkehrfunktion berechnet. Da man, laut Internet für die Rotation um die y-Achse die Umkehrfunktion braucht. Stimmt das soweit?
2.Also habe ich dann meine Ausgangsfunktion nach x aufgelöst und dann einfach x und y vertauscht. Darf man das so einfach machen?
3. Sobald ich dann die Umkehrfunktion berechnet hatte (nocheinmal hinskizziert), gehts an die Integration. Hier ist ein weiteres Problem:
Wenn ich für f(a) und f(b) die Werte f(a=3)=12 und f(b=-3)=12 nutze, gibt es doch gar kein Integral, da ich ja über keinen Weg integriere. Also habe ich meine Erinnerungen aus dem Gymnasium durchforscht und glaubte mich da an irgendwas zu erinnern, dass man das Integral aufteilen kann und die Grenzen des zweiten Integrals, das das andere wegheben würde, vertauschen kann. Oder irgendwie sowas war da. Also habe ich das gemacht (siehe Foto). Ist das richtig, so wie ich das gemacht habe?
Bitte ich brauche Eure Hilfe. Es ist mega deprimierend, dass ich das schon wieder verlernt habe. Ich könnte echt heulen. Bestimmt (und ich hoffe es), sind es nur unglücklich aneinander gereihte Flüchtigkeitsfehler. Ich danke schoneinmal im Voraus :-)
Hier die Bilder (anklicken für großes Bild, neues Fenster/Tab):
[ Nachricht wurde editiert von chris080 am 24.05.2013 13:08:08 ]
[ Nachricht wurde editiert von viertel am 24.05.2013 21:04:08 ]
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viertel
Senior 
Dabei seit: 04.03.2003
Mitteilungen: 27787
Wohnort: Hessen
 | Beitrag No.1, eingetragen 2013-05-24
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Hi chris080
Willkommen auf dem Planeten
Die Parabelgleichung stimmt. Allerdings sehr umständlich bestimmt.
Da die Parabel $ax^2+bx+c$ ihren Scheitel im Ursprung hat, weiß man schon, daß $c=0$ sein muß. Außerdem ist sie symmetrisch zur y-Achse, d.h. es dürfen nur x-Potenzen mit geraden Exponenten auftreten (gerade Funktion), also $b=0$. Aus dem Rest $12=a3^2$ das a zu berechnen geht dann im Kopf.
Dein Volumen ist doppelt so groß, wie es sein soll, da du den oberen Ast und den unteren Ast rotiert hast und dann addiert.
Auch hier kann man die Sache im Kopf rechnen.
Die Umkehrfunktion ist ja
f^(-1)(x)=sqrt(3/4 x)
Damit vertauschen sich doch auch die Koordinaten des Endpunktes von (3\|12) zu (12\|3). Das Integrationsintervall ist also 0...12:
V=\pi int((sqrt(3/4 x))^2,x,0,12)=54\pi
Gruß vom ¼
[ Nachricht wurde editiert von fed am 24.05.2013 14:53:37 ]
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chris080
Junior
Dabei seit: 24.05.2013
Mitteilungen: 7
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2013-05-24
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Okay jetzt hab ich bei Wikipedia eine Formel für die Rotation um die Y-Achse einer Fläche, die Durch die Geraden a und b, sowie der Funktion und der X-Achse beschränkt wird, gefunden und ein anderes Ergebnis damit berechnet (siehe Bild). Ist das richtig, dass ich hier mit den Grenzen von 0 bis 3 arbeite und nich von -3 bis 3? Da ja dann die Fläche mit 2*Pi multipliziert wird und das eine volle Kreisbewegung sein müsste und dann ja die eine Hälfte der Fläche reicht. Oder?
Hier bekomm ich aber genau die Hälfte des Ergebnisses, das ich zuerst berechnet hatte.
Bild:
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
[ Nachricht wurde editiert von viertel am 24.05.2013 21:04:30 ]
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chris080
Junior 
Dabei seit: 24.05.2013
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| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2013-05-24
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Ahh ja cool. Vielen Dank :) Oh mann immer so dumme Fehler. Aber ich kann ja auch nur aus Fehlern lernen, die ich gemacht habe. Vielen Dank nochmal. Falls noch Möglichkeit bestünde: Ist mein Alternativ-Weg auch soweit richtig? Das Ergebnis ist ja zumindest richtig :)
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chris080
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Mitteilungen: 7
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2013-05-24
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Noch eine Frage: Die Umkehrfunktion war doch mit 3/4 unter der Wurzel oder? Ich glaub da haben Sie sich vertippt. Zumindest bekomme ich auch 54*Pi raus, aber halt mit den 3/4 unter der Wurzel
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viertel
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| Beitrag No.5, eingetragen 2013-05-24
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Öhmmm.....?
Wo siehst du bei mir die $\frac{3}{4}$ außerhalb der Wurzel?
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chris080
Junior
Dabei seit: 24.05.2013
Mitteilungen: 7
| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2013-05-24
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Ne aber bei Ihnen steht 4/3 und nicht 3/4 unter der Wurzel. Hab mich unglücklich ausgedrückt :-)
[ Nachricht wurde editiert von chris080 am 24.05.2013 14:43:16 ]
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viertel
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| Beitrag No.7, eingetragen 2013-05-24
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Nee. Ich hab nicht richtig gelesen :-D
Du hast natürlich Recht, hab's korrigiert, danke 
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chris080
Junior
Dabei seit: 24.05.2013
Mitteilungen: 7
| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2013-05-24
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Nein nein, ich hab zu danken :-)
Dieser Thread kann auch jetzt geschlossen werden. Nur hoffe ich, dass dann bei mir keine Fragen mehr aufkommen werden xD
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viertel
Senior
Dabei seit: 04.03.2003
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| Beitrag No.9, eingetragen 2013-05-24
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Schließen heißt, du selbst setzt bei deinen nächsten Post den entsprechenden Haken („Das Thema ist nun erledigt“). Der automatisch wieder verschwindet, wenn danach wieder jemand etwas postet. „Schließen“ heißt hier also nicht „zunageln und im Meer versenken“ ;-)
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chris080
Junior
Dabei seit: 24.05.2013
Mitteilungen: 7
| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2013-05-24
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Oh das ist ja cool :-) Ja dann mach ich das mal^^
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| | Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen. |
chryso
Senior
Dabei seit: 07.02.2009
Mitteilungen: 10529
Wohnort: Österreich
 | Beitrag No.11, eingetragen 2013-05-24
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Weil ich da manchmal so komische Formeln von Wikipedia sehe, zur Rotation:
Eine Rotation um die x-Achse ist folgendes Integral
\pi int(...,x,a,b)
a und b sind Grenzen auf der x-Achse.
Statt der Punkte schreibst du y^2 .
Warum? du kannst dir den Rotationskörper wie eine Wurst vorstellen, die du in ganz schmale Scheiben schneidest. Jedes Wurstblatt ist ein Zylinder mit der winzigen Höhe dx.
Das Volumen für einen Zylinder ist r^2 \p *h
Also y^2 *\p *dx
Nun noch über alle Wurstblätter 'summiert', ergibt:
\pi int(y^2,x,a,b)
Da ich aber nach x integriere, muss ich mir das y^2 als Term von x ausrechnen.
\blue\ \*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*
Ganz analog lautet die Volumsformel für die Rotation um die y-Achse
\pi int(x^2 ,y,c,d) | mit c und d als y\-\Grenzen.
Da brauchst du dann auch keine Umkehrfunktion.
\blue\ \*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*
Ich rechne dir einmal dein Beispiel vor:
y=4/3 x^2
Rotation um die y-Achse: V=\pi int(x^2 ,y,c,d)
Die y\-\Grenzen eingesetzt:
V=\pi int(x^2 ,y,0,12)
Nun x^2 als Funktion von y ausgedrückt: y=4/3 x^2 => x^2 = 3/4 y
V=\pi int(3/4 y ,y,0,12)= \pi * 3/4 y^2 /2 \| von 0 bis 12
....
[ Nachricht wurde editiert von chryso am 24.05.2013 18:02:41 ]
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