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 Integrierbarkeit - gleichmäßige Konvergenz - Maßraum |
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Makito
Junior 
Dabei seit: 25.05.2013
Mitteilungen: 6
 |  Themenstart: 2013-12-17
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Hallo,
ich verstehe folgende Aufgabe nicht wirklich:
http://matheplanet.com/default3.html?call=viewtopic.php?topic=115236&ref=http%3A%2F%2Fwww.google.de%2Furl%3Fsa%3Dt%26rct%3Dj%26q%3D%26esrc%3Ds%26source%3Dweb%26cd%3D1%26ved%3D0CC8QFjAA
Es geht um den Teil a):
\
\
Sei (X,A,\mue) ein Maßraum. Zeigen Sie:
a) Ist \mue endlich und (f_k) eine Folge integrierbarer Funktionen f_k : X -> \IR (k \in\ \IN) , die auf X gleichmäßig gegen eine Funktion f : X -> \IR kovergiert, so ist auch f integrierbar und:
int(f,\mue,X) = lim(k->\inf,int(f_k ,\mue,X))
Lösung von Siah:
\
\
Bei a) musst du zunächst zeigen, dass f integrierbar ist. Dafür kann man die Dreiecksungleichung verwenden:
int(abs(f),\mu)<=int(abs(f-f_k),\mu)+int(abs(f_k),\mu)
<= sup(X,abs(f-f_k))*\mu(X) +int(abs(f_k),\mu)<=\mu(X) +int(abs(f_k),\mu) <\inf
falls man k groß genug wählt.
Dann weiss man, dass abs(f-f_k) gegen Null konvergiert auf X und wegen
abs(f-f_k) <= sup(X,abs(f-f_k)) ->0 und der Endlichkeit des Maßraums kann man den Lebesgueschen Konvergenzsatz anwenden.
Die Abschätzung mit der Dreiecksungleichung verstehe ich, aber wieso kann nun der Lebesguesche Konvergenzsatz angewandt werden?
Würde dafür nicht eine Majorante F mit
\
F>=abs(fk)
benötigt werden?
MfG
Makito
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Calculus
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Dabei seit: 10.08.2012
Mitteilungen: 6086
 | Beitrag No.1, eingetragen 2013-12-17
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Ja, diese Majorante benötigt man. Die kann man aber mit der Abschätzung ||fk||∞ ≤ ||fk - f||∞ + ||f||∞ für hinreichend große k einfach finden.
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Makito
Junior
Dabei seit: 25.05.2013
Mitteilungen: 6
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2013-12-17
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Hmm, sehe da leider nicht die Lösung;
man könnte für k groß genug weiterbabschätzen zu:
||fk||∞ ≤ ||fk - f||∞ + ||f||∞ ≤ 1 + ||f||∞
Aber ich glaube das bringt nichts. Oder muss vllt. das ||f||∞ abgeschätzt werden?
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Calculus
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Dabei seit: 10.08.2012
Mitteilungen: 6086
| Beitrag No.3, eingetragen 2013-12-17
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||f||∞ muss man nicht irgendwie abschätzen, es reicht dass dieser Wert endlich ist. Alle beschränkten [insbesondere also alle konstanten] Funktionen auf einem endlichen Maßraum sind integrierbar.
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Makito
Junior
Dabei seit: 25.05.2013
Mitteilungen: 6
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2013-12-17
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Das heißt F=1 + ||f||∞ würde (wegen der Endlichkeit) die Bedingung einer nichnegativen Majorante erfüllen; kann ich daraus also mit dem Satz von Lebesgue über majorisierte Konvergenz diese Aussage
\
int(f,\mue,X) = lim(k->\inf,int(f_k ,\mue,X))
folgern?
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Calculus
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Mitteilungen: 6086
| Beitrag No.5, eingetragen 2013-12-17
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Ja, wobei diese Majorante erst ab einem gewissen k0 gilt. Man muss also argumentieren, wieso die endlich vielen Folgeglieder vor dem Glied mit Index k0 keinen Einfluss auf die Konvergenzaussage haben.
Alternativ könnte man auch mittels ||f1|| + ... + ||fk0 - 1|| + 1 + ||f|| abschätzen.
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Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten |
JamesNguyen
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Dabei seit: 08.11.2020
Mitteilungen: 300
| Beitrag No.6, eingetragen 2023-02-04
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In Bezug auf Betrag No.3.
Sieht jemand warum ||f||∞ ein endlicher Wert ist?
Gruß,
James
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JamesNguyen
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| Beitrag No.7, eingetragen 2023-02-05
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Hallo nochmal,
also ich glaube nicht, dass das irgendwo hervorgeht.
Zuerst kann man aber mit
Beitrag No.1 aus hier
zeigen, dass f integrierbar ist.
Damit hat man schonmal die eine Aussage.
Jetzt bleibt noch die Konvergenzaussage, dass man Integral und Limes vertauschen kann.
Da f integrierbar ist kann man f auf einer Nullmenge $N$ auf 0 abändern.
und die Folgenglieder ebenso.
Dann hat man gleichmäßige Konvergenz und Konvergenz dieser Funktionen auf $\Omega$ den Satz von Lebesgue anzuwenden.
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JamesNguyen
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| Beitrag No.8, eingetragen 2023-02-05
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Hallo nochmal,
ok also ich bin den Beweis mal durchgegangen und es funktioniert auch so.
Bei einer Sache muss man aufpassen.
Da der Maßraum hier nicht als vollständig angegeben ist.
Muss man folgendermaßen abändern um sicherzustellen, dass alle Funktionen messbar bleiben.
$N$ = Vereinigung aller Nullmengen auf denen |f| bzw. |f_n| nicht endlich sind.
Jede dieser Nullmengen gehört zur $\sigma$-Algebra des Maßraums.
Diese abzählbar vielen Nullmengen sind dann wieder eine Nullmenge,
die insbesondere zur $\sigma$-Algebra gehört.
Auf dieser Nullmenge setzt man f und f_n also auf den Wert 0.
Und kommt dann zur Konvergenzaussage bei der man die Nullmenge dann wieder hinzufügen kann.
Ich poste morgen mal meinen Beweis hier.
Gruß,
James
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JamesNguyen
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| Beitrag No.9, eingetragen 2023-02-05
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Die Funktionenglieder bleiben so messbar und integrierbar.
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