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  Was ist der Zusammenhang zwischen dem reziproken Gitter und der Fouriertransformation? |
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Torsten_W
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 10.08.2006
Mitteilungen: 522
 |  Themenstart: 2014-02-02
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Hallo,
ich möchte gleich vorwegstellen, dass ich nie wirklich verstanden habe was es mit der Fourier-Transformation aufsich hat, die mir bekannten Erklärungen fingen immer direkt mit Begriffen an die ich nicht verstand und die auch nicht definiert wurden (Signal, zeitstabil etc.)
Ich habe die FT für mich einfach als Darstellung einer Funktion in einer anderen Basis eingeordnet (vermutlich ist das nicht ganz richtig oder zumindest ungenau).
Jetzt bin ich aber im Zusammenhang mit der Festkörperphysik wieder darauf gestoßen.
Kann es sein, dass die Darstellung einer Abbildung auf dem Ortsraum auf eine Abbildung auf dem K-Raum irgendwie mit der Fourier-Transformation verwandt ist?
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 Profil
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LutzL
Senior 
Dabei seit: 06.03.2002
Mitteilungen: 10094
Wohnort: Berlin-Mahlsdorf
 | Beitrag No.1, eingetragen 2014-02-02
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Hi,
das ist eigentlich einzuordnen in die harmonische Analysis auf homogenen Räumen, also ein Mix aus Fourier- und Lie-Gruppen-Theorie. Aber Gitter sind noch einfach genug.
Und ja, solange Du bei Fourier-Reihen bleibst, ist die Darstellung in einer speziellen Basis die richtige Vorstellung. Die kontinuierliche Fourier-Transformation ist konzeptuell etwas schwieriger.
\
Du hast ein Gitter \G und Funktionen, die bzgl. Verschiebungen in \G invariant sind. Elementare Funktionen mit dieser Eigenschaft sind Funktionen exp(2\p\ii*k^T*x) mit k\in\G^^ aus dem dualen Gitter, d.h., wenn \G=A\IZ^n, dann ist \G^^=A^(-T)\.\IZ^n. Nun kannst Du die gittererzeugende Matrix A per Koordinatentransformation herausrechnen, so dass lediglich eine Fourierreihenentwicklung in jeder Koordinatenrichtung übrig bleibt.
Wenn Du rankommst, besorge Dir Higgins: "Five stories on the sampling theoremcardinal series", das letzte oder vorletzte Kapitel handelt von diesem Thema in sehr lesbarer Form.
http://projecteuclid.org/DPubS?service=UI&version=1.0&verb=Display&handle=euclid.bams/1183552334
Gruß, Lutz
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Torsten_W
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 10.08.2006
Mitteilungen: 522
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2014-02-03
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Das Buch gibt es in meiner Bibliothek leider nicht.
Zu deiner Argumentation habe ich zwei Fragen:
1. Was genau ist dieses A? Soll das die Matrix sein, deren Spalten den Bravaisgittervektoren entsprechen?
2. Was genau meinst du mit: A^(-TZ^n) ?
Im Prinzip habe ich noch eine dritte (eigentlich entscheidende) Frage und zwar:
Wieso bleibt nach dem "herrausrechnen" der Matrix A lediglich eine Fouriertransformation übrig?
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LutzL
Senior
Dabei seit: 06.03.2002
Mitteilungen: 10094
Wohnort: Berlin-Mahlsdorf
| Beitrag No.3, eingetragen 2014-02-03
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Ja genau,
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A ist eine Basismatrix des Gitters und A^(-T) die Matrix der dualen Basis des dualen Gitters. Formeln oben sind korrigiert, Link zum Artikel dank rlk.
In den transformierten Koordinaten ist das Gitter einfach \IZ^n, damit ist eine gitterperiodische Funktion 1\-periodisch in jeder Koordinatenrichtung.
Gruß, Lutz
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